Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12295 / 20487
↖ ↑ ↗
← S 41.037931°
W 44.923096°		 ← 921.45 m → S 41.037931°
W 44.912109°		 →
↑
921.37 m
↓
↑
921.37 m
↓
S 41.046217°
W 44.923096°		 ← 921.34 m →
848 949 m²		 S 41.046217°
W 44.912109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375228881835938 y=0.625228881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375228881835938 × 215)
    floor (0.375228881835938 × 32768)
    floor (12295.5)     		tx = 12295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625228881835938 × 215)
    floor (0.625228881835938 × 32768)
    floor (20487.5)     		ty = 20487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12295 / 20487 ti = "15/12295/20487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12295/20487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12295 ÷ 215
    12295 ÷ 32768     		x = 0.375213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20487 ÷ 215
    20487 ÷ 32768     		y = 0.625213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.24957275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78405593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.25042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.786740396564362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78405593} λ = -0.78405593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786740396564362))-π/2
    2×atan(0.455326563011912)-π/2
    2×0.427274659622416-π/2
    0.854549319244833-1.57079632675     		φ = -0.71624701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78405593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.923096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71624701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.037931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12295 KachelY 20487 -0.78405593 -0.71624701 -44.923096 -41.037931
    Oben rechts KachelX + 1 12296 KachelY 20487 -0.78386418 -0.71624701 -44.912109 -41.037931
    Unten links KachelX 12295 KachelY + 1 20488 -0.78405593 -0.71639163 -44.923096 -41.046217
    Unten rechts KachelX + 1 12296 KachelY + 1 20488 -0.78386418 -0.71639163 -44.912109 -41.046217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71624701--0.71639163) × R
    0.000144619999999929 × 6371000     		dl = 921.374019999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71624701--0.71639163) × R
    0.000144619999999929 × 6371000     		dr = 921.374019999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78405593--0.78386418) × cos(-0.71624701) × R
    0.000191749999999935 × 0.754275092850914 × 6371000     		do = 921.452058723758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78405593--0.78386418) × cos(-0.71639163) × R
    0.000191749999999935 × 0.754180133470919 × 6371000     		du = 921.336052618001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71624701)-sin(-0.71639163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754275092850914-0.754180133470919)×R²
    abs(-0.78386418--0.78405593)×9.49593799945969e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49593799945969e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49593799945969e-05×40589641000000     		ar = 848948.546556731m²