Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12295 / 28681
↖ ↑ ↗
← S 79.189895°
W 44.923096°		 ← 229.12 m → S 79.189895°
W 44.912109°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 79.191956°
W 44.923096°		 ← 229.08 m →
52 488 m²		 S 79.191956°
W 44.912109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375228881835938 y=0.875289916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375228881835938 × 215)
    floor (0.375228881835938 × 32768)
    floor (12295.5)     		tx = 12295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875289916992188 × 215)
    floor (0.875289916992188 × 32768)
    floor (28681.5)     		ty = 28681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12295 / 28681 ti = "15/12295/28681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12295/28681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12295 ÷ 215
    12295 ÷ 32768     		x = 0.375213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28681 ÷ 215
    28681 ÷ 32768     		y = 0.875274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.24957275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78405593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.75054931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35792021851132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78405593} λ = -0.78405593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35792021851132))-π/2
    2×atan(0.0946168009772198)-π/2
    2×0.0943359607204953-π/2
    0.188671921440991-1.57079632675     		φ = -1.38212441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78405593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.923096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38212441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.189895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12295 KachelY 28681 -0.78405593 -1.38212441 -44.923096 -79.189895
    Oben rechts KachelX + 1 12296 KachelY 28681 -0.78386418 -1.38212441 -44.912109 -79.189895
    Unten links KachelX 12295 KachelY + 1 28682 -0.78405593 -1.38216037 -44.923096 -79.191956
    Unten rechts KachelX + 1 12296 KachelY + 1 28682 -0.78386418 -1.38216037 -44.912109 -79.191956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38212441--1.38216037) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dl = 229.101159999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38212441--1.38216037) × R
    3.5959999999946e-05 × 6371000     		dr = 229.101159999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78405593--0.78386418) × cos(-1.38212441) × R
    0.000191749999999935 × 0.187554545472781 × 6371000     		do = 229.123994265382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78405593--0.78386418) × cos(-1.38216037) × R
    0.000191749999999935 × 0.187519223490875 × 6371000     		du = 229.080843545897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38212441)-sin(-1.38216037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187554545472781-0.187519223490875)×R²
    abs(-0.78386418--0.78405593)×3.53219819063388e-05×R²
    0.000191749999999935×3.53219819063388e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.53219819063388e-05×40589641000000     		ar = 52487.6299355866m²