Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12296 / 20488
↖ ↑ ↗
← S 41.046217°
W 44.912109°		 ← 921.34 m → S 41.046217°
W 44.901123°		 →
↑
921.25 m
↓
↑
921.25 m
↓
S 41.054502°
W 44.912109°		 ← 921.22 m →
848 724 m²		 S 41.054502°
W 44.901123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375259399414062 y=0.625259399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375259399414062 × 215)
    floor (0.375259399414062 × 32768)
    floor (12296.5)     		tx = 12296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625259399414062 × 215)
    floor (0.625259399414062 × 32768)
    floor (20488.5)     		ty = 20488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12296 / 20488 ti = "15/12296/20488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12296/20488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12296 ÷ 215
    12296 ÷ 32768     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20488 ÷ 215
    20488 ÷ 32768     		y = 0.625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.786932144162842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786932144162842))-π/2
    2×atan(0.455239263606924)-π/2
    2×0.427202348955508-π/2
    0.854404697911016-1.57079632675     		φ = -0.71639163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71639163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.046217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12296 KachelY 20488 -0.78386418 -0.71639163 -44.912109 -41.046217
    Oben rechts KachelX + 1 12297 KachelY 20488 -0.78367243 -0.71639163 -44.901123 -41.046217
    Unten links KachelX 12296 KachelY + 1 20489 -0.78386418 -0.71653623 -44.912109 -41.054502
    Unten rechts KachelX + 1 12297 KachelY + 1 20489 -0.78367243 -0.71653623 -44.901123 -41.054502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71639163--0.71653623) × R
    0.00014460000000005 × 6371000     		dl = 921.24660000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71639163--0.71653623) × R
    0.00014460000000005 × 6371000     		dr = 921.24660000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78367243) × cos(-0.71639163) × R
    0.000191750000000046 × 0.754180133470919 × 6371000     		do = 921.336052618535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78367243) × cos(-0.71653623) × R
    0.000191750000000046 × 0.754085171452822 × 6371000     		du = 921.220043289968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71639163)-sin(-0.71653623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754180133470919-0.754085171452822)×R²
    abs(-0.78367243--0.78386418)×9.49620180972222e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49620180972222e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49620180972222e-05×40589641000000     		ar = 848724.270811546m²