Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12296 / 20504
↖ ↑ ↗
← S 41.178654°
W 44.912109°		 ← 919.48 m → S 41.178654°
W 44.901123°		 →
↑
919.40 m
↓
↑
919.40 m
↓
S 41.186922°
W 44.912109°		 ← 919.36 m →
845 315 m²		 S 41.186922°
W 44.901123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375259399414062 y=0.625747680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375259399414062 × 215)
    floor (0.375259399414062 × 32768)
    floor (12296.5)     		tx = 12296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625747680664062 × 215)
    floor (0.625747680664062 × 32768)
    floor (20504.5)     		ty = 20504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12296 / 20504 ti = "15/12296/20504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12296/20504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12296 ÷ 215
    12296 ÷ 32768     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20504 ÷ 215
    20504 ÷ 32768     		y = 0.625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790000105738525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790000105738525))-π/2
    2×atan(0.453844747293479)-π/2
    2×0.426046616727631-π/2
    0.852093233455262-1.57079632675     		φ = -0.71870309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71870309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.178654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12296 KachelY 20504 -0.78386418 -0.71870309 -44.912109 -41.178654
    Oben rechts KachelX + 1 12297 KachelY 20504 -0.78367243 -0.71870309 -44.901123 -41.178654
    Unten links KachelX 12296 KachelY + 1 20505 -0.78386418 -0.71884740 -44.912109 -41.186922
    Unten rechts KachelX + 1 12297 KachelY + 1 20505 -0.78367243 -0.71884740 -44.901123 -41.186922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71870309--0.71884740) × R
    0.000144310000000036 × 6371000     		dl = 919.399010000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71870309--0.71884740) × R
    0.000144310000000036 × 6371000     		dr = 919.399010000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78367243) × cos(-0.71870309) × R
    0.000191750000000046 × 0.752660259216756 × 6371000     		do = 919.479314574585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78367243) × cos(-0.71884740) × R
    0.000191750000000046 × 0.75256523636361 × 6371000     		du = 919.363230927533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71870309)-sin(-0.71884740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752660259216756-0.75256523636361)×R²
    abs(-0.78367243--0.78386418)×9.50228531468866e-05×R²
    0.000191750000000046×9.50228531468866e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.50228531468866e-05×40589641000000     		ar = 845315.009407727m²