Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12298 / 28682
↖ ↑ ↗
← S 79.191956°
W 44.890137°		 ← 229.08 m → S 79.191956°
W 44.879150°		 →
↑
229.04 m
↓
↑
229.04 m
↓
S 79.194016°
W 44.890137°		 ← 229.04 m →
52 463 m²		 S 79.194016°
W 44.879150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375320434570312 y=0.875320434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375320434570312 × 215)
    floor (0.375320434570312 × 32768)
    floor (12298.5)     		tx = 12298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875320434570312 × 215)
    floor (0.875320434570312 × 32768)
    floor (28682.5)     		ty = 28682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12298 / 28682 ti = "15/12298/28682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12298/28682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12298 ÷ 215
    12298 ÷ 32768     		x = 0.37530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28682 ÷ 215
    28682 ÷ 32768     		y = 0.87530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.2493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78348069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.7506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3581119661098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78348069} λ = -0.78348069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3581119661098))-π/2
    2×atan(0.09459866017214)-π/2
    2×0.0943179808464842-π/2
    0.188635961692968-1.57079632675     		φ = -1.38216037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78348069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.890137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38216037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.191956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12298 KachelY 28682 -0.78348069 -1.38216037 -44.890137 -79.191956
    Oben rechts KachelX + 1 12299 KachelY 28682 -0.78328894 -1.38216037 -44.879150 -79.191956
    Unten links KachelX 12298 KachelY + 1 28683 -0.78348069 -1.38219632 -44.890137 -79.194016
    Unten rechts KachelX + 1 12299 KachelY + 1 28683 -0.78328894 -1.38219632 -44.879150 -79.194016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38216037--1.38219632) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dl = 229.037450000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38216037--1.38219632) × R
    3.59500000000068e-05 × 6371000     		dr = 229.037450000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78348069--0.78328894) × cos(-1.38216037) × R
    0.000191749999999935 × 0.187519223490875 × 6371000     		do = 229.080843545897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78348069--0.78328894) × cos(-1.38219632) × R
    0.000191749999999935 × 0.18748391108916 × 6371000     		du = 229.037704529951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38216037)-sin(-1.38219632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187519223490875-0.18748391108916)×R²
    abs(-0.78328894--0.78348069)×3.53124017148376e-05×R²
    0.000191749999999935×3.53124017148376e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.53124017148376e-05×40589641000000     		ar = 52463.1520298469m²