Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12300 / 12300
↖ ↑ ↗
← S 66.618122°
E 90.263672°		 ← 969.61 m → S 66.618122°
E 90.285644°		 →
↑
969.41 m
↓
↑
969.41 m
↓
S 66.626840°
E 90.263672°		 ← 969.27 m →
939 784 m²		 S 66.626840°
E 90.285644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750762939453125 y=0.750762939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750762939453125 × 214)
    floor (0.750762939453125 × 16384)
    floor (12300.5)     		tx = 12300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750762939453125 × 214)
    floor (0.750762939453125 × 16384)
    floor (12300.5)     		ty = 12300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12300 / 12300 ti = "14/12300/12300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12300/12300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12300 ÷ 214
    12300 ÷ 16384     		x = 0.750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12300 ÷ 214
    12300 ÷ 16384     		y = 0.750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750732421875 × 2 - 1) × π
    0.50146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57539827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.50146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57539826911353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57539827} λ = 1.57539827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57539826911353))-π/2
    2×atan(0.206925124382066)-π/2
    2×0.204045379215228-π/2
    0.408090758430456-1.57079632675     		φ = -1.16270557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57539827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16270557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.618122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12300 KachelY 12300 1.57539827 -1.16270557 90.263672 -66.618122
    Oben rechts KachelX + 1 12301 KachelY 12300 1.57578176 -1.16270557 90.285644 -66.618122
    Unten links KachelX 12300 KachelY + 1 12301 1.57539827 -1.16285773 90.263672 -66.626840
    Unten rechts KachelX + 1 12301 KachelY + 1 12301 1.57578176 -1.16285773 90.285644 -66.626840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16270557--1.16285773) × R
    0.000152160000000068 × 6371000     		dl = 969.411360000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16270557--1.16285773) × R
    0.000152160000000068 × 6371000     		dr = 969.411360000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57539827-1.57578176) × cos(-1.16270557) × R
    0.000383489999999931 × 0.396857595841942 × 6371000     		do = 969.6083476847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57539827-1.57578176) × cos(-1.16285773) × R
    0.000383489999999931 × 0.396717926598165 × 6371000     		du = 969.267105722596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16270557)-sin(-1.16285773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396857595841942-0.396717926598165)×R²
    abs(1.57578176-1.57539827)×0.000139669243777008×R²
    0.000383489999999931×0.000139669243777008×6371000²
    0.000383489999999931×0.000139669243777008×40589641000000     		ar = 939783.946892968m²