Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12300 / 28668
↖ ↑ ↗
← S 79.163075°
W 44.868164°		 ← 229.69 m → S 79.163075°
W 44.857177°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
S 79.165141°
W 44.868164°		 ← 229.64 m →
52 748 m²		 S 79.165141°
W 44.857177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375381469726562 y=0.874893188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375381469726562 × 215)
    floor (0.375381469726562 × 32768)
    floor (12300.5)     		tx = 12300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874893188476562 × 215)
    floor (0.874893188476562 × 32768)
    floor (28668.5)     		ty = 28668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12300 / 28668 ti = "15/12300/28668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12300/28668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12300 ÷ 215
    12300 ÷ 32768     		x = 0.3753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28668 ÷ 215
    28668 ÷ 32768     		y = 0.8748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78309719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.749755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35542749973108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78309719} λ = -0.78309719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35542749973108))-π/2
    2×atan(0.0948529482560427)-π/2
    2×0.0945700074994685-π/2
    0.189140014998937-1.57079632675     		φ = -1.38165631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78309719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38165631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.163075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12300 KachelY 28668 -0.78309719 -1.38165631 -44.868164 -79.163075
    Oben rechts KachelX + 1 12301 KachelY 28668 -0.78290544 -1.38165631 -44.857177 -79.163075
    Unten links KachelX 12300 KachelY + 1 28669 -0.78309719 -1.38169236 -44.868164 -79.165141
    Unten rechts KachelX + 1 12301 KachelY + 1 28669 -0.78290544 -1.38169236 -44.857177 -79.165141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38165631--1.38169236) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dl = 229.674549999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38165631--1.38169236) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dr = 229.674549999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78309719--0.78290544) × cos(-1.38165631) × R
    0.000191750000000046 × 0.188014318093767 × 6371000     		do = 229.685670545387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78309719--0.78290544) × cos(-1.38169236) × R
    0.000191750000000046 × 0.187978910876941 × 6371000     		du = 229.642415699578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38165631)-sin(-1.38169236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188014318093767-0.187978910876941)×R²
    abs(-0.78290544--0.78309719)×3.54072168264608e-05×R²
    0.000191750000000046×3.54072168264608e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.54072168264608e-05×40589641000000     		ar = 52747.9857612112m²