Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12303 / 12305
↖ ↑ ↗
← S 66.661683°
E 90.329590°		 ← 967.93 m → S 66.661683°
E 90.351563°		 →
↑
967.75 m
↓
↑
967.75 m
↓
S 66.670387°
E 90.329590°		 ← 967.59 m →
936 552 m²		 S 66.670387°
E 90.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750946044921875 y=0.751068115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750946044921875 × 214)
    floor (0.750946044921875 × 16384)
    floor (12303.5)     		tx = 12303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751068115234375 × 214)
    floor (0.751068115234375 × 16384)
    floor (12305.5)     		ty = 12305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12303 / 12305 ti = "14/12303/12305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12303/12305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12303 ÷ 214
    12303 ÷ 16384     		x = 0.75091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12305 ÷ 214
    12305 ÷ 16384     		y = 0.75103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75091552734375 × 2 - 1) × π
    0.5018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57654875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75103759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57731574509833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57654875} λ = 1.57654875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57731574509833))-π/2
    2×atan(0.206528730584656)-π/2
    2×0.203665231426453-π/2
    0.407330462852906-1.57079632675     		φ = -1.16346586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57654875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16346586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.661683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12303 KachelY 12305 1.57654875 -1.16346586 90.329590 -66.661683
    Oben rechts KachelX + 1 12304 KachelY 12305 1.57693225 -1.16346586 90.351563 -66.661683
    Unten links KachelX 12303 KachelY + 1 12306 1.57654875 -1.16361776 90.329590 -66.670387
    Unten rechts KachelX + 1 12304 KachelY + 1 12306 1.57693225 -1.16361776 90.351563 -66.670387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16346586--1.16361776) × R
    0.000151899999999872 × 6371000     		dl = 967.754899999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16346586--1.16361776) × R
    0.000151899999999872 × 6371000     		dr = 967.754899999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57654875-1.57693225) × cos(-1.16346586) × R
    0.000383500000000092 × 0.396159626077318 × 6371000     		do = 967.928296962983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57654875-1.57693225) × cos(-1.16361776) × R
    0.000383500000000092 × 0.396020149714119 × 6371000     		du = 967.587517363521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16346586)-sin(-1.16361776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396159626077318-0.396020149714119)×R²
    abs(1.57693225-1.57654875)×0.000139476363198887×R²
    0.000383500000000092×0.000139476363198887×6371000²
    0.000383500000000092×0.000139476363198887×40589641000000     		ar = 936552.458470825m²