Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12304 / 20496
↖ ↑ ↗
← S 41.112469°
W 44.824219°		 ← 920.41 m → S 41.112469°
W 44.813232°		 →
↑
920.35 m
↓
↑
920.35 m
↓
S 41.120746°
W 44.824219°		 ← 920.29 m →
847 048 m²		 S 41.120746°
W 44.813232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375503540039062 y=0.625503540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375503540039062 × 215)
    floor (0.375503540039062 × 32768)
    floor (12304.5)     		tx = 12304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625503540039062 × 215)
    floor (0.625503540039062 × 32768)
    floor (20496.5)     		ty = 20496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12304 / 20496 ti = "15/12304/20496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12304/20496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12304 ÷ 215
    12304 ÷ 32768     		x = 0.37548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20496 ÷ 215
    20496 ÷ 32768     		y = 0.62548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.788466124950684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78233020} λ = -0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788466124950684))-π/2
    2×atan(0.454541470659998)-π/2
    2×0.426624191408632-π/2
    0.853248382817263-1.57079632675     		φ = -0.71754794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71754794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.112469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12304 KachelY 20496 -0.78233020 -0.71754794 -44.824219 -41.112469
    Oben rechts KachelX + 1 12305 KachelY 20496 -0.78213845 -0.71754794 -44.813232 -41.112469
    Unten links KachelX 12304 KachelY + 1 20497 -0.78233020 -0.71769240 -44.824219 -41.120746
    Unten rechts KachelX + 1 12305 KachelY + 1 20497 -0.78213845 -0.71769240 -44.813232 -41.120746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71754794--0.71769240) × R
    0.000144460000000013 × 6371000     		dl = 920.354660000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71754794--0.71769240) × R
    0.000144460000000013 × 6371000     		dr = 920.354660000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78233020--0.78213845) × cos(-0.71754794) × R
    0.000191749999999935 × 0.753420318147633 × 6371000     		do = 920.407832396324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78233020--0.78213845) × cos(-0.71769240) × R
    0.000191749999999935 × 0.753325322170974 × 6371000     		du = 920.291781582645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71754794)-sin(-0.71769240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753420318147633-0.753325322170974)×R²
    abs(-0.78213845--0.78233020)×9.49959766592956e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49959766592956e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49959766592956e-05×40589641000000     		ar = 847048.235166642m²