Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12304 / 4111
↖ ↑ ↗
← N 66.381560°
E 90.351563°		 ← 978.88 m → N 66.381560°
E 90.373535°		 →
↑
979.03 m
↓
↑
979.03 m
↓
N 66.372755°
E 90.351563°		 ← 979.23 m →
958 527 m²		 N 66.372755°
E 90.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751007080078125 y=0.250946044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751007080078125 × 214)
    floor (0.751007080078125 × 16384)
    floor (12304.5)     		tx = 12304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250946044921875 × 214)
    floor (0.250946044921875 × 16384)
    floor (4111.5)     		ty = 4111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12304 / 4111 ti = "14/12304/4111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12304/4111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12304 ÷ 214
    12304 ÷ 16384     		x = 0.7509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4111 ÷ 214
    4111 ÷ 16384     		y = 0.25091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57693225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25091552734375 × 2 - 1) × π
    0.4981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56504389879559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57693225} λ = 1.57693225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56504389879559))-π/2
    2×atan(4.78288489417309)-π/2
    2×1.36468655360544-π/2
    2.72937310721087-1.57079632675     		φ = 1.15857678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57693225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15857678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.381560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12304 KachelY 4111 1.57693225 1.15857678 90.351563 66.381560
    Oben rechts KachelX + 1 12305 KachelY 4111 1.57731575 1.15857678 90.373535 66.381560
    Unten links KachelX 12304 KachelY + 1 4112 1.57693225 1.15842311 90.351563 66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 12305 KachelY + 1 4112 1.57731575 1.15842311 90.373535 66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15857678-1.15842311) × R
    0.000153669999999995 × 6371000     		dl = 979.031569999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15857678-1.15842311) × R
    0.000153669999999995 × 6371000     		dr = 979.031569999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57693225-1.57731575) × cos(1.15857678) × R
    0.00038349999999987 × 0.400643937044189 × 6371000     		do = 978.884717535088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57693225-1.57731575) × cos(1.15842311) × R
    0.00038349999999987 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 979.228713854315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15857678)-sin(1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400643937044189-0.400784729966169)×R²
    abs(1.57731575-1.57693225)×0.000140792921980215×R²
    0.00038349999999987×0.000140792921980215×6371000²
    0.00038349999999987×0.000140792921980215×40589641000000     		ar = 958527.435371058m²