Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12305 / 12303
↖ ↑ ↗
← S 66.644268°
E 90.373535°		 ← 968.58 m → S 66.644268°
E 90.395508°		 →
↑
968.39 m
↓
↑
968.39 m
↓
S 66.652977°
E 90.373535°		 ← 968.24 m →
937 805 m²		 S 66.652977°
E 90.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751068115234375 y=0.750946044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751068115234375 × 214)
    floor (0.751068115234375 × 16384)
    floor (12305.5)     		tx = 12305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750946044921875 × 214)
    floor (0.750946044921875 × 16384)
    floor (12303.5)     		ty = 12303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12305 / 12303 ti = "14/12305/12303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12305/12303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12305 ÷ 214
    12305 ÷ 16384     		x = 0.75103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12303 ÷ 214
    12303 ÷ 16384     		y = 0.75091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75103759765625 × 2 - 1) × π
    0.5020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57731575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.5018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57654875470441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57731575} λ = 1.57731575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57654875470441))-π/2
    2×atan(0.206687196900386)-π/2
    2×0.203817210244791-π/2
    0.407634420489583-1.57079632675     		φ = -1.16316191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57731575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16316191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.644268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12305 KachelY 12303 1.57731575 -1.16316191 90.373535 -66.644268
    Oben rechts KachelX + 1 12306 KachelY 12303 1.57769924 -1.16316191 90.395508 -66.644268
    Unten links KachelX 12305 KachelY + 1 12304 1.57731575 -1.16331391 90.373535 -66.652977
    Unten rechts KachelX + 1 12306 KachelY + 1 12304 1.57769924 -1.16331391 90.395508 -66.652977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16316191--1.16331391) × R
    0.000152000000000152 × 6371000     		dl = 968.392000000968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16316191--1.16331391) × R
    0.000152000000000152 × 6371000     		dr = 968.392000000968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57731575-1.57769924) × cos(-1.16316191) × R
    0.000383490000000153 × 0.396438689087184 × 6371000     		do = 968.584868506407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57731575-1.57769924) × cos(-1.16331391) × R
    0.000383490000000153 × 0.396299139205757 × 6371000     		du = 968.243918172161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16316191)-sin(-1.16331391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396438689087184-0.396299139205757)×R²
    abs(1.57769924-1.57731575)×0.000139549881427281×R²
    0.000383490000000153×0.000139549881427281×6371000²
    0.000383490000000153×0.000139549881427281×40589641000000     		ar = 937804.753001227m²