Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12305 / 4113
↖ ↑ ↗
← N 66.363947°
E 90.373535°		 ← 979.55 m → N 66.363947°
E 90.395508°		 →
↑
979.73 m
↓
↑
979.73 m
↓
N 66.355136°
E 90.373535°		 ← 979.89 m →
959 863 m²		 N 66.355136°
E 90.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751068115234375 y=0.251068115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751068115234375 × 214)
    floor (0.751068115234375 × 16384)
    floor (12305.5)     		tx = 12305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251068115234375 × 214)
    floor (0.251068115234375 × 16384)
    floor (4113.5)     		ty = 4113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12305 / 4113 ti = "14/12305/4113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12305/4113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12305 ÷ 214
    12305 ÷ 16384     		x = 0.75103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4113 ÷ 214
    4113 ÷ 16384     		y = 0.25103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75103759765625 × 2 - 1) × π
    0.5020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57731575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25103759765625 × 2 - 1) × π
    0.4979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.56427690840167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57731575} λ = 1.57731575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56427690840167))-π/2
    2×atan(4.77921787386847)-π/2
    2×1.36453285458336-π/2
    2.72906570916672-1.57079632675     		φ = 1.15826938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57731575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15826938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.363947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12305 KachelY 4113 1.57731575 1.15826938 90.373535 66.363947
    Oben rechts KachelX + 1 12306 KachelY 4113 1.57769924 1.15826938 90.395508 66.363947
    Unten links KachelX 12305 KachelY + 1 4114 1.57731575 1.15811560 90.373535 66.355136
    Unten rechts KachelX + 1 12306 KachelY + 1 4114 1.57769924 1.15811560 90.395508 66.355136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15826938-1.15811560) × R
    0.000153779999999992 × 6371000     		dl = 979.732379999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15826938-1.15811560) × R
    0.000153779999999992 × 6371000     		dr = 979.732379999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57731575-1.57769924) × cos(1.15826938) × R
    0.000383490000000153 × 0.400925568390469 × 6371000     		do = 979.547278381142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57731575-1.57769924) × cos(1.15811560) × R
    0.000383490000000153 × 0.401066443142179 × 6371000     		du = 979.891465658057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15826938)-sin(1.15811560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400925568390469-0.401066443142179)×R²
    abs(1.57769924-1.57731575)×0.000140874751710041×R²
    0.000383490000000153×0.000140874751710041×6371000²
    0.000383490000000153×0.000140874751710041×40589641000000     		ar = 959862.793971959m²