Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12305 / 4113
↖ ↑ ↗
← N 79.136190°
W 44.813232°		 ← 230.24 m → N 79.136190°
W 44.802246°		 →
↑
230.25 m
↓
↑
230.25 m
↓
N 79.134119°
W 44.813232°		 ← 230.28 m →
53 017 m²		 N 79.134119°
W 44.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375534057617188 y=0.125534057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375534057617188 × 215)
    floor (0.375534057617188 × 32768)
    floor (12305.5)     		tx = 12305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125534057617188 × 215)
    floor (0.125534057617188 × 32768)
    floor (4113.5)     		ty = 4113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12305 / 4113 ti = "15/12305/4113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12305/4113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12305 ÷ 215
    12305 ÷ 32768     		x = 0.375518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4113 ÷ 215
    4113 ÷ 32768     		y = 0.125518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.24896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78213845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125518798828125 × 2 - 1) × π
    0.74896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35293478095084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78213845} λ = -0.78213845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35293478095084))-π/2
    2×atan(10.5163877750083)-π/2
    2×1.47599169880609-π/2
    2.95198339761218-1.57079632675     		φ = 1.38118707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78213845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38118707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.136190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12305 KachelY 4113 -0.78213845 1.38118707 -44.813232 79.136190
    Oben rechts KachelX + 1 12306 KachelY 4113 -0.78194671 1.38118707 -44.802246 79.136190
    Unten links KachelX 12305 KachelY + 1 4114 -0.78213845 1.38115093 -44.813232 79.134119
    Unten rechts KachelX + 1 12306 KachelY + 1 4114 -0.78194671 1.38115093 -44.802246 79.134119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38118707-1.38115093) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dl = 230.24793999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38118707-1.38115093) × R
    3.61399999999623e-05 × 6371000     		dr = 230.24793999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78213845--0.78194671) × cos(1.38118707) × R
    0.000191739999999996 × 0.188475169086498 × 6371000     		do = 230.236656453425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78213845--0.78194671) × cos(1.38115093) × R
    0.000191739999999996 × 0.188510661260718 × 6371000     		du = 230.280012825313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38118707)-sin(1.38115093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188475169086498-0.188510661260718)×R²
    abs(-0.78194671--0.78213845)×3.54921742195813e-05×R²
    0.000191739999999996×3.54921742195813e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.54921742195813e-05×40589641000000     		ar = 53016.5072236995m²