Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12306 / 20498
↖ ↑ ↗
← S 41.129021°
W 44.802246°		 ← 920.18 m → S 41.129021°
W 44.791260°		 →
↑
920.10 m
↓
↑
920.10 m
↓
S 41.137296°
W 44.802246°		 ← 920.06 m →
846 600 m²		 S 41.137296°
W 44.791260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375564575195312 y=0.625564575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375564575195312 × 215)
    floor (0.375564575195312 × 32768)
    floor (12306.5)     		tx = 12306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625564575195312 × 215)
    floor (0.625564575195312 × 32768)
    floor (20498.5)     		ty = 20498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12306 / 20498 ti = "15/12306/20498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12306/20498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12306 ÷ 215
    12306 ÷ 32768     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20498 ÷ 215
    20498 ÷ 32768     		y = 0.62554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2510986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.788849620147644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788849620147644))-π/2
    2×atan(0.454367189609289)-π/2
    2×0.426479743087528-π/2
    0.852959486175056-1.57079632675     		φ = -0.71783684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71783684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.129021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12306 KachelY 20498 -0.78194671 -0.71783684 -44.802246 -41.129021
    Oben rechts KachelX + 1 12307 KachelY 20498 -0.78175496 -0.71783684 -44.791260 -41.129021
    Unten links KachelX 12306 KachelY + 1 20499 -0.78194671 -0.71798126 -44.802246 -41.137296
    Unten rechts KachelX + 1 12307 KachelY + 1 20499 -0.78175496 -0.71798126 -44.791260 -41.137296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71783684--0.71798126) × R
    0.000144419999999923 × 6371000     		dl = 920.099819999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71783684--0.71798126) × R
    0.000144419999999923 × 6371000     		dr = 920.099819999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78175496) × cos(-0.71783684) × R
    0.000191750000000046 × 0.753230323628538 × 6371000     		do = 920.175727635046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78175496) × cos(-0.71798126) × R
    0.000191750000000046 × 0.753135322528836 × 6371000     		du = 920.059670562856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71783684)-sin(-0.71798126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753230323628538-0.753135322528836)×R²
    abs(-0.78175496--0.78194671)×9.50010997021744e-05×R²
    0.000191750000000046×9.50010997021744e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.50010997021744e-05×40589641000000     		ar = 846600.130791532m²