Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12306 / 28690
↖ ↑ ↗
← S 79.208424°
W 44.802246°		 ← 228.74 m → S 79.208424°
W 44.791260°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
S 79.210481°
W 44.802246°		 ← 228.69 m →
52 311 m²		 S 79.210481°
W 44.791260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375564575195312 y=0.875564575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375564575195312 × 215)
    floor (0.375564575195312 × 32768)
    floor (12306.5)     		tx = 12306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875564575195312 × 215)
    floor (0.875564575195312 × 32768)
    floor (28690.5)     		ty = 28690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12306 / 28690 ti = "15/12306/28690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12306/28690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12306 ÷ 215
    12306 ÷ 32768     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28690 ÷ 215
    28690 ÷ 32768     		y = 0.87554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.7510986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35964594689764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35964594689764))-π/2
    2×atan(0.094453658887906)-π/2
    2×0.0941742637031698-π/2
    0.18834852740634-1.57079632675     		φ = -1.38244780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38244780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.208424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12306 KachelY 28690 -0.78194671 -1.38244780 -44.802246 -79.208424
    Oben rechts KachelX + 1 12307 KachelY 28690 -0.78175496 -1.38244780 -44.791260 -79.208424
    Unten links KachelX 12306 KachelY + 1 28691 -0.78194671 -1.38248370 -44.802246 -79.210481
    Unten rechts KachelX + 1 12307 KachelY + 1 28691 -0.78175496 -1.38248370 -44.791260 -79.210481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38244780--1.38248370) × R
    3.59000000000886e-05 × 6371000     		dl = 228.718900000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38244780--1.38248370) × R
    3.59000000000886e-05 × 6371000     		dr = 228.718900000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78175496) × cos(-1.38244780) × R
    0.000191750000000046 × 0.187236884488698 × 6371000     		do = 228.735927139165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78175496) × cos(-1.38248370) × R
    0.000191750000000046 × 0.187201619267044 × 6371000     		du = 228.692845760232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38244780)-sin(-1.38248370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187236884488698-0.187201619267044)×R²
    abs(-0.78175496--0.78194671)×3.52652216543681e-05×R²
    0.000191750000000046×3.52652216543681e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.52652216543681e-05×40589641000000     		ar = 52311.3028890399m²