Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12306 / 4114
↖ ↑ ↗
← N 66.355136°
E 90.395508°		 ← 979.92 m → N 66.355136°
E 90.417481°		 →
↑
980.05 m
↓
↑
980.05 m
↓
N 66.346322°
E 90.395508°		 ← 980.26 m →
960 537 m²		 N 66.346322°
E 90.417481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751129150390625 y=0.251129150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751129150390625 × 214)
    floor (0.751129150390625 × 16384)
    floor (12306.5)     		tx = 12306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251129150390625 × 214)
    floor (0.251129150390625 × 16384)
    floor (4114.5)     		ty = 4114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12306 / 4114 ti = "14/12306/4114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12306/4114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12306 ÷ 214
    12306 ÷ 16384     		x = 0.7510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4114 ÷ 214
    4114 ÷ 16384     		y = 0.2510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7510986328125 × 2 - 1) × π
    0.502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57769924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2510986328125 × 2 - 1) × π
    0.497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56389341320471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57769924} λ = 1.57769924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56389341320471))-π/2
    2×atan(4.77738541816006)-π/2
    2×1.36445596456331-π/2
    2.72891192912661-1.57079632675     		φ = 1.15811560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57769924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15811560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.355136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12306 KachelY 4114 1.57769924 1.15811560 90.395508 66.355136
    Oben rechts KachelX + 1 12307 KachelY 4114 1.57808274 1.15811560 90.417481 66.355136
    Unten links KachelX 12306 KachelY + 1 4115 1.57769924 1.15796177 90.395508 66.346322
    Unten rechts KachelX + 1 12307 KachelY + 1 4115 1.57808274 1.15796177 90.417481 66.346322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15811560-1.15796177) × R
    0.00015382999999991 × 6371000     		dl = 980.050929999429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15811560-1.15796177) × R
    0.00015382999999991 × 6371000     		dr = 980.050929999429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57769924-1.57808274) × cos(1.15811560) × R
    0.00038349999999987 × 0.401066443142179 × 6371000     		do = 979.917017600427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57769924-1.57808274) × cos(1.15796177) × R
    0.00038349999999987 × 0.401207354208718 × 6371000     		du = 980.261302579713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15811560)-sin(1.15796177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401066443142179-0.401207354208718)×R²
    abs(1.57808274-1.57769924)×0.000140911066538574×R²
    0.00038349999999987×0.000140911066538574×6371000²
    0.00038349999999987×0.000140911066538574×40589641000000     		ar = 960537.294722817m²