Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12308 / 12308
↖ ↑ ↗
← S 66.687784°
E 90.439453°		 ← 966.91 m → S 66.687784°
E 90.461426°		 →
↑
966.74 m
↓
↑
966.74 m
↓
S 66.696478°
E 90.439453°		 ← 966.57 m →
934 578 m²		 S 66.696478°
E 90.461426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751251220703125 y=0.751251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751251220703125 × 214)
    floor (0.751251220703125 × 16384)
    floor (12308.5)     		tx = 12308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751251220703125 × 214)
    floor (0.751251220703125 × 16384)
    floor (12308.5)     		ty = 12308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12308 / 12308 ti = "14/12308/12308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12308/12308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12308 ÷ 214
    12308 ÷ 16384     		x = 0.751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12308 ÷ 214
    12308 ÷ 16384     		y = 0.751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57846623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.50244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57846623068921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57846623} λ = 1.57846623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57846623068921))-π/2
    2×atan(0.206291258886093)-π/2
    2×0.203437463788568-π/2
    0.406874927577137-1.57079632675     		φ = -1.16392140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57846623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16392140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.687784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12308 KachelY 12308 1.57846623 -1.16392140 90.439453 -66.687784
    Oben rechts KachelX + 1 12309 KachelY 12308 1.57884973 -1.16392140 90.461426 -66.687784
    Unten links KachelX 12308 KachelY + 1 12309 1.57846623 -1.16407314 90.439453 -66.696478
    Unten rechts KachelX + 1 12309 KachelY + 1 12309 1.57884973 -1.16407314 90.461426 -66.696478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16392140--1.16407314) × R
    0.000151739999999956 × 6371000     		dl = 966.735539999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16392140--1.16407314) × R
    0.000151739999999956 × 6371000     		dr = 966.735539999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57846623-1.57884973) × cos(-1.16392140) × R
    0.00038349999999987 × 0.395741316516025 × 6371000     		do = 966.906250204972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57846623-1.57884973) × cos(-1.16407314) × R
    0.00038349999999987 × 0.39560195970679 × 6371000     		du = 966.565762709139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16392140)-sin(-1.16407314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395741316516025-0.39560195970679)×R²
    abs(1.57884973-1.57846623)×0.000139356809235047×R²
    0.00038349999999987×0.000139356809235047×6371000²
    0.00038349999999987×0.000139356809235047×40589641000000     		ar = 934578.057033732m²