Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12308 / 28692
↖ ↑ ↗
← S 79.212538°
W 44.780273°		 ← 228.65 m → S 79.212538°
W 44.769287°		 →
↑
228.66 m
↓
↑
228.66 m
↓
S 79.214594°
W 44.780273°		 ← 228.61 m →
52 277 m²		 S 79.214594°
W 44.769287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375625610351562 y=0.875625610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375625610351562 × 215)
    floor (0.375625610351562 × 32768)
    floor (12308.5)     		tx = 12308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875625610351562 × 215)
    floor (0.875625610351562 × 32768)
    floor (28692.5)     		ty = 28692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12308 / 28692 ti = "15/12308/28692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12308/28692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12308 ÷ 215
    12308 ÷ 32768     		x = 0.3756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28692 ÷ 215
    28692 ÷ 32768     		y = 0.8756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.3600294420946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78156321} λ = -0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3600294420946))-π/2
    2×atan(0.0944174433080815)-π/2
    2×0.0941383682417059-π/2
    0.188276736483412-1.57079632675     		φ = -1.38251959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38251959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.212538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12308 KachelY 28692 -0.78156321 -1.38251959 -44.780273 -79.212538
    Oben rechts KachelX + 1 12309 KachelY 28692 -0.78137146 -1.38251959 -44.769287 -79.212538
    Unten links KachelX 12308 KachelY + 1 28693 -0.78156321 -1.38255548 -44.780273 -79.214594
    Unten rechts KachelX + 1 12309 KachelY + 1 28693 -0.78137146 -1.38255548 -44.769287 -79.214594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38251959--1.38255548) × R
    3.58899999999274e-05 × 6371000     		dl = 228.655189999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38251959--1.38255548) × R
    3.58899999999274e-05 × 6371000     		dr = 228.655189999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78156321--0.78137146) × cos(-1.38251959) × R
    0.000191749999999935 × 0.187166363627405 × 6371000     		do = 228.649776086933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78156321--0.78137146) × cos(-1.38255548) × R
    0.000191749999999935 × 0.187131107746678 × 6371000     		du = 228.606706119244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38251959)-sin(-1.38255548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187166363627405-0.187131107746678)×R²
    abs(-0.78137146--0.78156321)×3.52558807267533e-05×R²
    0.000191749999999935×3.52558807267533e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.52558807267533e-05×40589641000000     		ar = 52277.0339139504m²