Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12312 / 20472
↖ ↑ ↗
← S 40.913512°
W 44.736328°		 ← 923.19 m → S 40.913512°
W 44.725342°		 →
↑
923.16 m
↓
↑
923.16 m
↓
S 40.921815°
W 44.736328°		 ← 923.08 m →
852 198 m²		 S 40.921815°
W 44.725342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375747680664062 y=0.624771118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375747680664062 × 215)
    floor (0.375747680664062 × 32768)
    floor (12312.5)     		tx = 12312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624771118164062 × 215)
    floor (0.624771118164062 × 32768)
    floor (20472.5)     		ty = 20472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12312 / 20472 ti = "15/12312/20472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12312/20472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12312 ÷ 215
    12312 ÷ 32768     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20472 ÷ 215
    20472 ÷ 32768     		y = 0.624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.783864182587158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783864182587158))-π/2
    2×atan(0.456638064812416)-π/2
    2×0.428360411901147-π/2
    0.856720823802294-1.57079632675     		φ = -0.71407550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71407550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.913512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12312 KachelY 20472 -0.78079622 -0.71407550 -44.736328 -40.913512
    Oben rechts KachelX + 1 12313 KachelY 20472 -0.78060447 -0.71407550 -44.725342 -40.913512
    Unten links KachelX 12312 KachelY + 1 20473 -0.78079622 -0.71422040 -44.736328 -40.921815
    Unten rechts KachelX + 1 12313 KachelY + 1 20473 -0.78060447 -0.71422040 -44.725342 -40.921815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71407550--0.71422040) × R
    0.000144900000000003 × 6371000     		dl = 923.157900000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71407550--0.71422040) × R
    0.000144900000000003 × 6371000     		dr = 923.157900000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78060447) × cos(-0.71407550) × R
    0.000191750000000046 × 0.75569903673778 × 6371000     		do = 923.191604466285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78060447) × cos(-0.71422040) × R
    0.000191750000000046 × 0.755604131034012 × 6371000     		du = 923.075663933514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71407550)-sin(-0.71422040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75569903673778-0.755604131034012)×R²
    abs(-0.78060447--0.78079622)×9.49057037678003e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49057037678003e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49057037678003e-05×40589641000000     		ar = 852198.108658162m²