Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12312 / 20520
↖ ↑ ↗
← S 41.310824°
W 44.736328°		 ← 917.62 m → S 41.310824°
W 44.725342°		 →
↑
917.55 m
↓
↑
917.55 m
↓
S 41.319075°
W 44.736328°		 ← 917.51 m →
841 912 m²		 S 41.319075°
W 44.725342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375747680664062 y=0.626235961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375747680664062 × 215)
    floor (0.375747680664062 × 32768)
    floor (12312.5)     		tx = 12312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626235961914062 × 215)
    floor (0.626235961914062 × 32768)
    floor (20520.5)     		ty = 20520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12312 / 20520 ti = "15/12312/20520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12312/20520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12312 ÷ 215
    12312 ÷ 32768     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20520 ÷ 215
    20520 ÷ 32768     		y = 0.626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    -0.25244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.793068067314209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793068067314209))-π/2
    2×atan(0.452454502746342)-π/2
    2×0.424893216689199-π/2
    0.849786433378399-1.57079632675     		φ = -0.72100989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72100989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.310824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12312 KachelY 20520 -0.78079622 -0.72100989 -44.736328 -41.310824
    Oben rechts KachelX + 1 12313 KachelY 20520 -0.78060447 -0.72100989 -44.725342 -41.310824
    Unten links KachelX 12312 KachelY + 1 20521 -0.78079622 -0.72115391 -44.736328 -41.319075
    Unten rechts KachelX + 1 12313 KachelY + 1 20521 -0.78060447 -0.72115391 -44.725342 -41.319075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72100989--0.72115391) × R
    0.000144019999999911 × 6371000     		dl = 917.551419999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72100989--0.72115391) × R
    0.000144019999999911 × 6371000     		dr = 917.551419999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78060447) × cos(-0.72100989) × R
    0.000191750000000046 × 0.75113943989275 × 6371000     		do = 917.621421996219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78060447) × cos(-0.72115391) × R
    0.000191750000000046 × 0.751044358225187 × 6371000     		du = 917.505266499169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72100989)-sin(-0.72115391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75113943989275-0.751044358225187)×R²
    abs(-0.78060447--0.78079622)×9.50816675625576e-05×R²
    0.000191750000000046×9.50816675625576e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.50816675625576e-05×40589641000000     		ar = 841911.550908618m²