Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12319 / 4127
↖ ↑ ↗
← N 79.107163°
W 44.659424°		 ← 230.86 m → N 79.107163°
W 44.648437°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
N 79.105086°
W 44.659424°		 ← 230.90 m →
53 306 m²		 N 79.105086°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375961303710938 y=0.125961303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375961303710938 × 215)
    floor (0.375961303710938 × 32768)
    floor (12319.5)     		tx = 12319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125961303710938 × 215)
    floor (0.125961303710938 × 32768)
    floor (4127.5)     		ty = 4127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12319 / 4127 ti = "15/12319/4127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12319/4127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12319 ÷ 215
    12319 ÷ 32768     		x = 0.375946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4127 ÷ 215
    4127 ÷ 32768     		y = 0.125946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.24810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77945399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125946044921875 × 2 - 1) × π
    0.74810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35025031457211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77945399} λ = -0.77945399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35025031457211))-π/2
    2×atan(10.4881947441532)-π/2
    2×1.47573838742799-π/2
    2.95147677485598-1.57079632675     		φ = 1.38068045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77945399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.659424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38068045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.107163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12319 KachelY 4127 -0.77945399 1.38068045 -44.659424 79.107163
    Oben rechts KachelX + 1 12320 KachelY 4127 -0.77926224 1.38068045 -44.648437 79.107163
    Unten links KachelX 12319 KachelY + 1 4128 -0.77945399 1.38064421 -44.659424 79.105086
    Unten rechts KachelX + 1 12320 KachelY + 1 4128 -0.77926224 1.38064421 -44.648437 79.105086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38068045-1.38064421) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dl = 230.885040000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38068045-1.38064421) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dr = 230.885040000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77945399--0.77926224) × cos(1.38068045) × R
    0.000191750000000046 × 0.188972685211641 × 6371000     		do = 230.856449432491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77945399--0.77926224) × cos(1.38064421) × R
    0.000191750000000046 × 0.189008272127693 × 6371000     		du = 230.899923805927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38068045)-sin(1.38064421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188972685211641-0.189008272127693)×R²
    abs(-0.77926224--0.77945399)×3.55869160521549e-05×R²
    0.000191750000000046×3.55869160521549e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.55869160521549e-05×40589641000000     		ar = 53306.3193585561m²