Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12320 / 4064
↖ ↑ ↗
← N 66.791909°
E 90.703125°		 ← 962.83 m → N 66.791909°
E 90.725098°		 →
↑
962.98 m
↓
↑
962.98 m
↓
N 66.783249°
E 90.703125°		 ← 963.17 m →
927 343 m²		 N 66.783249°
E 90.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751983642578125 y=0.248077392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751983642578125 × 214)
    floor (0.751983642578125 × 16384)
    floor (12320.5)     		tx = 12320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248077392578125 × 214)
    floor (0.248077392578125 × 16384)
    floor (4064.5)     		ty = 4064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12320 / 4064 ti = "14/12320/4064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12320/4064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12320 ÷ 214
    12320 ÷ 16384     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4064 ÷ 214
    4064 ÷ 16384     		y = 0.248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248046875 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58306817305273))-π/2
    2×atan(4.86987453073291)-π/2
    2×1.3682675303911-π/2
    2.7365350607822-1.57079632675     		φ = 1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12320 KachelY 4064 1.58306817 1.16573873 90.703125 66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 12321 KachelY 4064 1.58345167 1.16573873 90.725098 66.791909
    Unten links KachelX 12320 KachelY + 1 4065 1.58306817 1.16558758 90.703125 66.783249
    Unten rechts KachelX + 1 12321 KachelY + 1 4065 1.58345167 1.16558758 90.725098 66.783249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16573873-1.16558758) × R
    0.000151149999999989 × 6371000     		dl = 962.976649999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16573873-1.16558758) × R
    0.000151149999999989 × 6371000     		dr = 962.976649999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58345167) × cos(1.16573873) × R
    0.000383500000000092 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 962.826904908538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58345167) × cos(1.16558758) × R
    0.000383500000000092 × 0.394210611464249 × 6371000     		du = 963.166311462685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16573873)-sin(1.16558758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.394210611464249)×R²
    abs(1.58345167-1.58306817)×0.000138914394796685×R²
    0.000383500000000092×0.000138914394796685×6371000²
    0.000383500000000092×0.000138914394796685×40589641000000     		ar = 927343.249478338m²