Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12320 / 4128
↖ ↑ ↗
← N 66.231457°
E 90.703125°		 ← 984.75 m → N 66.231457°
E 90.725098°		 →
↑
984.89 m
↓
↑
984.89 m
↓
N 66.222600°
E 90.703125°		 ← 985.09 m →
970 040 m²		 N 66.222600°
E 90.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751983642578125 y=0.251983642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751983642578125 × 214)
    floor (0.751983642578125 × 16384)
    floor (12320.5)     		tx = 12320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251983642578125 × 214)
    floor (0.251983642578125 × 16384)
    floor (4128.5)     		ty = 4128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12320 / 4128 ti = "14/12320/4128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12320/4128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12320 ÷ 214
    12320 ÷ 16384     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4128 ÷ 214
    4128 ÷ 16384     		y = 0.251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251953125 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.55852448044727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55852448044727))-π/2
    2×atan(4.75180468914848)-π/2
    2×1.36337666408679-π/2
    2.72675332817358-1.57079632675     		φ = 1.15595700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15595700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.231457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12320 KachelY 4128 1.58306817 1.15595700 90.703125 66.231457
    Oben rechts KachelX + 1 12321 KachelY 4128 1.58345167 1.15595700 90.725098 66.231457
    Unten links KachelX 12320 KachelY + 1 4129 1.58306817 1.15580241 90.703125 66.222600
    Unten rechts KachelX + 1 12321 KachelY + 1 4129 1.58345167 1.15580241 90.725098 66.222600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15595700-1.15580241) × R
    0.000154589999999954 × 6371000     		dl = 984.89288999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15595700-1.15580241) × R
    0.000154589999999954 × 6371000     		dr = 984.89288999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58345167) × cos(1.15595700) × R
    0.000383500000000092 × 0.403042890509652 × 6371000     		do = 984.746028960323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58345167) × cos(1.15580241) × R
    0.000383500000000092 × 0.403184363537896 × 6371000     		du = 985.091686968561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15595700)-sin(1.15580241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403042890509652-0.403184363537896)×R²
    abs(1.58345167-1.58306817)×0.000141473028243744×R²
    0.000383500000000092×0.000141473028243744×6371000²
    0.000383500000000092×0.000141473028243744×40589641000000     		ar = 970039.582367828m²