Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12322 / 20450
↖ ↑ ↗
← S 40.730608°
W 44.626465°		 ← 925.74 m → S 40.730608°
W 44.615479°		 →
↑
925.71 m
↓
↑
925.71 m
↓
S 40.738933°
W 44.626465°		 ← 925.63 m →
856 911 m²		 S 40.738933°
W 44.615479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376052856445312 y=0.624099731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376052856445312 × 215)
    floor (0.376052856445312 × 32768)
    floor (12322.5)     		tx = 12322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624099731445312 × 215)
    floor (0.624099731445312 × 32768)
    floor (20450.5)     		ty = 20450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12322 / 20450 ti = "15/12322/20450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12322/20450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12322 ÷ 215
    12322 ÷ 32768     		x = 0.37603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20450 ÷ 215
    20450 ÷ 32768     		y = 0.62408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.779645735420593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77887875} λ = -0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779645735420593))-π/2
    2×atan(0.458568437087168)-π/2
    2×0.429956551266758-π/2
    0.859913102533516-1.57079632675     		φ = -0.71088322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71088322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.730608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12322 KachelY 20450 -0.77887875 -0.71088322 -44.626465 -40.730608
    Oben rechts KachelX + 1 12323 KachelY 20450 -0.77868700 -0.71088322 -44.615479 -40.730608
    Unten links KachelX 12322 KachelY + 1 20451 -0.77887875 -0.71102852 -44.626465 -40.738933
    Unten rechts KachelX + 1 12323 KachelY + 1 20451 -0.77868700 -0.71102852 -44.615479 -40.738933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71088322--0.71102852) × R
    0.000145300000000015 × 6371000     		dl = 925.706300000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71088322--0.71102852) × R
    0.000145300000000015 × 6371000     		dr = 925.706300000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77887875--0.77868700) × cos(-0.71088322) × R
    0.000191749999999935 × 0.757785867651592 × 6371000     		do = 925.740959018176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77887875--0.77868700) × cos(-0.71102852) × R
    0.000191749999999935 × 0.757691050920733 × 6371000     		du = 925.625127178203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71088322)-sin(-0.71102852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757785867651592-0.757691050920733)×R²
    abs(-0.77868700--0.77887875)×9.48167308584269e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48167308584269e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48167308584269e-05×40589641000000     		ar = 856910.626306565m²