Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12324 / 12324
↖ ↑ ↗
← S 66.826520°
E 90.791015°		 ← 961.47 m → S 66.826520°
E 90.812988°		 →
↑
961.26 m
↓
↑
961.26 m
↓
S 66.835165°
E 90.791015°		 ← 961.13 m →
924 057 m²		 S 66.835165°
E 90.812988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752227783203125 y=0.752227783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752227783203125 × 214)
    floor (0.752227783203125 × 16384)
    floor (12324.5)     		tx = 12324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752227783203125 × 214)
    floor (0.752227783203125 × 16384)
    floor (12324.5)     		ty = 12324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12324 / 12324 ti = "14/12324/12324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12324/12324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12324 ÷ 214
    12324 ÷ 16384     		x = 0.752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12324 ÷ 214
    12324 ÷ 16384     		y = 0.752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58460215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.50439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58460215384058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58460215} λ = 1.58460215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58460215384058))-π/2
    2×atan(0.205029347031051)-π/2
    2×0.202226760181831-π/2
    0.404453520363663-1.57079632675     		φ = -1.16634281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58460215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.791015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16634281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.826520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12324 KachelY 12324 1.58460215 -1.16634281 90.791015 -66.826520
    Oben rechts KachelX + 1 12325 KachelY 12324 1.58498565 -1.16634281 90.812988 -66.826520
    Unten links KachelX 12324 KachelY + 1 12325 1.58460215 -1.16649369 90.791015 -66.835165
    Unten rechts KachelX + 1 12325 KachelY + 1 12325 1.58498565 -1.16649369 90.812988 -66.835165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16634281--1.16649369) × R
    0.000150880000000075 × 6371000     		dl = 961.25648000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16634281--1.16649369) × R
    0.000150880000000075 × 6371000     		dr = 961.25648000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58460215-1.58498565) × cos(-1.16634281) × R
    0.00038349999999987 × 0.393516427536312 × 6371000     		do = 961.470226795954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58460215-1.58498565) × cos(-1.16649369) × R
    0.00038349999999987 × 0.393377716420526 × 6371000     		du = 961.131316909042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16634281)-sin(-1.16649369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393516427536312-0.393377716420526)×R²
    abs(1.58498565-1.58460215)×0.000138711115786727×R²
    0.00038349999999987×0.000138711115786727×6371000²
    0.00038349999999987×0.000138711115786727×40589641000000     		ar = 924056.597925825m²