Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12324 / 20508
↖ ↑ ↗
← S 41.211721°
W 44.604492°		 ← 919.01 m → S 41.211721°
W 44.593506°		 →
↑
918.95 m
↓
↑
918.95 m
↓
S 41.219986°
W 44.604492°		 ← 918.90 m →
844 478 m²		 S 41.219986°
W 44.593506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376113891601562 y=0.625869750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376113891601562 × 215)
    floor (0.376113891601562 × 32768)
    floor (12324.5)     		tx = 12324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625869750976562 × 215)
    floor (0.625869750976562 × 32768)
    floor (20508.5)     		ty = 20508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12324 / 20508 ti = "15/12324/20508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12324/20508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12324 ÷ 215
    12324 ÷ 32768     		x = 0.3760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20508 ÷ 215
    20508 ÷ 32768     		y = 0.6258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790767096132446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77849525} λ = -0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790767096132446))-π/2
    2×atan(0.453496786190443)-π/2
    2×0.425758048018934-π/2
    0.851516096037868-1.57079632675     		φ = -0.71928023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71928023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.211721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12324 KachelY 20508 -0.77849525 -0.71928023 -44.604492 -41.211721
    Oben rechts KachelX + 1 12325 KachelY 20508 -0.77830350 -0.71928023 -44.593506 -41.211721
    Unten links KachelX 12324 KachelY + 1 20509 -0.77849525 -0.71942447 -44.604492 -41.219986
    Unten rechts KachelX + 1 12325 KachelY + 1 20509 -0.77830350 -0.71942447 -44.593506 -41.219986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71928023--0.71942447) × R
    0.000144240000000018 × 6371000     		dl = 918.953040000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71928023--0.71942447) × R
    0.000144240000000018 × 6371000     		dr = 918.953040000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77849525--0.77830350) × cos(-0.71928023) × R
    0.000191749999999935 × 0.752280139661703 × 6371000     		do = 919.014945605906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77849525--0.77830350) × cos(-0.71942447) × R
    0.000191749999999935 × 0.752185100268105 × 6371000     		du = 918.898841752391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71928023)-sin(-0.71942447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752280139661703-0.752185100268105)×R²
    abs(-0.77830350--0.77849525)×9.50393935980065e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50393935980065e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50393935980065e-05×40589641000000     		ar = 844478.232539298m²