Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12324 / 28708
↖ ↑ ↗
← S 79.245389°
W 44.604492°		 ← 227.96 m → S 79.245389°
W 44.593506°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 79.247438°
W 44.604492°		 ← 227.92 m →
51 945 m²		 S 79.247438°
W 44.593506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376113891601562 y=0.876113891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376113891601562 × 215)
    floor (0.376113891601562 × 32768)
    floor (12324.5)     		tx = 12324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876113891601562 × 215)
    floor (0.876113891601562 × 32768)
    floor (28708.5)     		ty = 28708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12324 / 28708 ti = "15/12324/28708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12324/28708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12324 ÷ 215
    12324 ÷ 32768     		x = 0.3760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28708 ÷ 215
    28708 ÷ 32768     		y = 0.8760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.752197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36309740367029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77849525} λ = -0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36309740367029))-π/2
    2×atan(0.0941282181126894)-π/2
    2×0.0938516908552738-π/2
    0.187703381710548-1.57079632675     		φ = -1.38309295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38309295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.245389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12324 KachelY 28708 -0.77849525 -1.38309295 -44.604492 -79.245389
    Oben rechts KachelX + 1 12325 KachelY 28708 -0.77830350 -1.38309295 -44.593506 -79.245389
    Unten links KachelX 12324 KachelY + 1 28709 -0.77849525 -1.38312872 -44.604492 -79.247438
    Unten rechts KachelX + 1 12325 KachelY + 1 28709 -0.77830350 -1.38312872 -44.593506 -79.247438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38309295--1.38312872) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38309295--1.38312872) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77849525--0.77830350) × cos(-1.38309295) × R
    0.000191749999999935 × 0.186603105179365 × 6371000     		do = 227.961677458913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77849525--0.77830350) × cos(-1.38312872) × R
    0.000191749999999935 × 0.186567963346355 × 6371000     		du = 227.918746816391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38309295)-sin(-1.38312872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186603105179365-0.186567963346355)×R²
    abs(-0.77830350--0.77849525)×3.51418330095388e-05×R²
    0.000191749999999935×3.51418330095388e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.51418330095388e-05×40589641000000     		ar = 51945.4476690921m²