Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12328 / 20584
↖ ↑ ↗
← S 41.836828°
W 44.560547°		 ← 910.18 m → S 41.836828°
W 44.549560°		 →
↑
910.16 m
↓
↑
910.16 m
↓
S 41.845013°
W 44.560547°		 ← 910.06 m →
828 357 m²		 S 41.845013°
W 44.549560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376235961914062 y=0.628189086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376235961914062 × 215)
    floor (0.376235961914062 × 32768)
    floor (12328.5)     		tx = 12328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628189086914062 × 215)
    floor (0.628189086914062 × 32768)
    floor (20584.5)     		ty = 20584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12328 / 20584 ti = "15/12328/20584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12328/20584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12328 ÷ 215
    12328 ÷ 32768     		x = 0.376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20584 ÷ 215
    20584 ÷ 32768     		y = 0.628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805339913616943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77772826} λ = -0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805339913616943))-π/2
    2×atan(0.446935981110774)-π/2
    2×0.420302966026131-π/2
    0.840605932052262-1.57079632675     		φ = -0.73019039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73019039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.836828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12328 KachelY 20584 -0.77772826 -0.73019039 -44.560547 -41.836828
    Oben rechts KachelX + 1 12329 KachelY 20584 -0.77753651 -0.73019039 -44.549560 -41.836828
    Unten links KachelX 12328 KachelY + 1 20585 -0.77772826 -0.73033325 -44.560547 -41.845013
    Unten rechts KachelX + 1 12329 KachelY + 1 20585 -0.77753651 -0.73033325 -44.549560 -41.845013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73019039--0.73033325) × R
    0.000142860000000078 × 6371000     		dl = 910.161060000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73019039--0.73033325) × R
    0.000142860000000078 × 6371000     		dr = 910.161060000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77772826--0.77753651) × cos(-0.73019039) × R
    0.000191749999999935 × 0.745047423530157 × 6371000     		do = 910.179175695505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77772826--0.77753651) × cos(-0.73033325) × R
    0.000191749999999935 × 0.744952126665238 × 6371000     		du = 910.062757304918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73019039)-sin(-0.73033325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745047423530157-0.744952126665238)×R²
    abs(-0.77753651--0.77772826)×9.52968649191588e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52968649191588e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52968649191588e-05×40589641000000     		ar = 828356.665007077m²