Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12328 / 28712
↖ ↑ ↗
← S 79.253585°
W 44.560547°		 ← 227.79 m → S 79.253585°
W 44.549560°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
S 79.255634°
W 44.560547°		 ← 227.75 m →
51 877 m²		 S 79.255634°
W 44.549560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376235961914062 y=0.876235961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376235961914062 × 215)
    floor (0.376235961914062 × 32768)
    floor (12328.5)     		tx = 12328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876235961914062 × 215)
    floor (0.876235961914062 × 32768)
    floor (28712.5)     		ty = 28712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12328 / 28712 ti = "15/12328/28712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12328/28712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12328 ÷ 215
    12328 ÷ 32768     		x = 0.376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28712 ÷ 215
    28712 ÷ 32768     		y = 0.876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.75244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36386439406421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77772826} λ = -0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36386439406421))-π/2
    2×atan(0.0940560503531271)-π/2
    2×0.093780156413739-π/2
    0.187560312827478-1.57079632675     		φ = -1.38323601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38323601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.253585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12328 KachelY 28712 -0.77772826 -1.38323601 -44.560547 -79.253585
    Oben rechts KachelX + 1 12329 KachelY 28712 -0.77753651 -1.38323601 -44.549560 -79.253585
    Unten links KachelX 12328 KachelY + 1 28713 -0.77772826 -1.38327176 -44.560547 -79.255634
    Unten rechts KachelX + 1 12329 KachelY + 1 28713 -0.77753651 -1.38327176 -44.549560 -79.255634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38323601--1.38327176) × R
    3.574999999989e-05 × 6371000     		dl = 227.763249999299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38323601--1.38327176) × R
    3.574999999989e-05 × 6371000     		dr = 227.763249999299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77772826--0.77753651) × cos(-1.38323601) × R
    0.000191749999999935 × 0.186462556064473 × 6371000     		do = 227.789977143609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77772826--0.77753651) × cos(-1.38327176) × R
    0.000191749999999935 × 0.186427432926392 × 6371000     		du = 227.747069339546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38323601)-sin(-1.38327176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186462556064473-0.186427432926392)×R²
    abs(-0.77753651--0.77772826)×3.51231380811279e-05×R²
    0.000191749999999935×3.51231380811279e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.51231380811279e-05×40589641000000     		ar = 51877.2991063584m²