Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12336 / 20465
↖ ↑ ↗
← S 40.855370°
W 44.472656°		 ← 924 m → S 40.855370°
W 44.461670°		 →
↑
923.92 m
↓
↑
923.92 m
↓
S 40.863679°
W 44.472656°		 ← 923.89 m →
853 654 m²		 S 40.863679°
W 44.461670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376480102539062 y=0.624557495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376480102539062 × 215)
    floor (0.376480102539062 × 32768)
    floor (12336.5)     		tx = 12336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624557495117188 × 215)
    floor (0.624557495117188 × 32768)
    floor (20465.5)     		ty = 20465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12336 / 20465 ti = "15/12336/20465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12336/20465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12336 ÷ 215
    12336 ÷ 32768     		x = 0.37646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20465 ÷ 215
    20465 ÷ 32768     		y = 0.624542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.24908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.782521949397797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77619428} λ = -0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782521949397797))-π/2
    2×atan(0.457251391099902)-π/2
    2×0.428867796953728-π/2
    0.857735593907456-1.57079632675     		φ = -0.71306073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71306073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.855370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12336 KachelY 20465 -0.77619428 -0.71306073 -44.472656 -40.855370
    Oben rechts KachelX + 1 12337 KachelY 20465 -0.77600253 -0.71306073 -44.461670 -40.855370
    Unten links KachelX 12336 KachelY + 1 20466 -0.77619428 -0.71320575 -44.472656 -40.863679
    Unten rechts KachelX + 1 12337 KachelY + 1 20466 -0.77600253 -0.71320575 -44.461670 -40.863679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71306073--0.71320575) × R
    0.00014501999999994 × 6371000     		dl = 923.922419999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71306073--0.71320575) × R
    0.00014501999999994 × 6371000     		dr = 923.922419999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77619428--0.77600253) × cos(-0.71306073) × R
    0.000191750000000046 × 0.756363239737458 × 6371000     		do = 924.00302092066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77619428--0.77600253) × cos(-0.71320575) × R
    0.000191750000000046 × 0.756268366682297 × 6371000     		du = 923.887120272708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71306073)-sin(-0.71320575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756363239737458-0.756268366682297)×R²
    abs(-0.77600253--0.77619428)×9.48730551609822e-05×R²
    0.000191750000000046×9.48730551609822e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.48730551609822e-05×40589641000000     		ar = 853653.567068676m²