Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12336 / 28720
↖ ↑ ↗
← S 79.269962°
W 44.472656°		 ← 227.45 m → S 79.269962°
W 44.461670°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 79.272007°
W 44.472656°		 ← 227.40 m →
51 727 m²		 S 79.272007°
W 44.461670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376480102539062 y=0.876480102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376480102539062 × 215)
    floor (0.376480102539062 × 32768)
    floor (12336.5)     		tx = 12336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876480102539062 × 215)
    floor (0.876480102539062 × 32768)
    floor (28720.5)     		ty = 28720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12336 / 28720 ti = "15/12336/28720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12336/28720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12336 ÷ 215
    12336 ÷ 32768     		x = 0.37646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28720 ÷ 215
    28720 ÷ 32768     		y = 0.87646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36539837485205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77619428} λ = -0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36539837485205))-π/2
    2×atan(0.0939118807838503)-π/2
    2×0.0936372491425956-π/2
    0.187274498285191-1.57079632675     		φ = -1.38352183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38352183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.269962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12336 KachelY 28720 -0.77619428 -1.38352183 -44.472656 -79.269962
    Oben rechts KachelX + 1 12337 KachelY 28720 -0.77600253 -1.38352183 -44.461670 -79.269962
    Unten links KachelX 12336 KachelY + 1 28721 -0.77619428 -1.38355753 -44.472656 -79.272007
    Unten rechts KachelX + 1 12337 KachelY + 1 28721 -0.77600253 -1.38355753 -44.461670 -79.272007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38352183--1.38355753) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38352183--1.38355753) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77619428--0.77600253) × cos(-1.38352183) × R
    0.000191750000000046 × 0.186181741143653 × 6371000     		do = 227.446922614481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77619428--0.77600253) × cos(-1.38355753) × R
    0.000191750000000046 × 0.186146665227998 × 6371000     		du = 227.404072499187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38352183)-sin(-1.38355753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186181741143653-0.186146665227998)×R²
    abs(-0.77600253--0.77619428)×3.50759156549085e-05×R²
    0.000191750000000046×3.50759156549085e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.50759156549085e-05×40589641000000     		ar = 51726.7240699068m²