Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12338 / 20466
↖ ↑ ↗
← S 40.863679°
W 44.450683°		 ← 923.84 m → S 40.863679°
W 44.439698°		 →
↑
923.86 m
↓
↑
923.86 m
↓
S 40.871988°
W 44.450683°		 ← 923.72 m →
853 443 m²		 S 40.871988°
W 44.439698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376541137695312 y=0.624588012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376541137695312 × 215)
    floor (0.376541137695312 × 32768)
    floor (12338.5)     		tx = 12338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624588012695312 × 215)
    floor (0.624588012695312 × 32768)
    floor (20466.5)     		ty = 20466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12338 / 20466 ti = "15/12338/20466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12338/20466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12338 ÷ 215
    12338 ÷ 32768     		x = 0.37652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20466 ÷ 215
    20466 ÷ 32768     		y = 0.62457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.2469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77581078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.2491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.782713696996277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77581078} λ = -0.77581078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782713696996277))-π/2
    2×atan(0.457163722649133)-π/2
    2×0.428795286084453-π/2
    0.857590572168905-1.57079632675     		φ = -0.71320575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77581078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.450683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71320575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.863679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12338 KachelY 20466 -0.77581078 -0.71320575 -44.450683 -40.863679
    Oben rechts KachelX + 1 12339 KachelY 20466 -0.77561904 -0.71320575 -44.439698 -40.863679
    Unten links KachelX 12338 KachelY + 1 20467 -0.77581078 -0.71335076 -44.450683 -40.871988
    Unten rechts KachelX + 1 12339 KachelY + 1 20467 -0.77561904 -0.71335076 -44.439698 -40.871988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71320575--0.71335076) × R
    0.000145010000000001 × 6371000     		dl = 923.858710000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71320575--0.71335076) × R
    0.000145010000000001 × 6371000     		dr = 923.858710000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77581078--0.77561904) × cos(-0.71320575) × R
    0.000191739999999996 × 0.756268366682297 × 6371000     		do = 923.838938414825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77581078--0.77561904) × cos(-0.71335076) × R
    0.000191739999999996 × 0.756173484265919 × 6371000     		du = 923.723032375801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71320575)-sin(-0.71335076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756268366682297-0.756173484265919)×R²
    abs(-0.77561904--0.77581078)×9.4882416378117e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4882416378117e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4882416378117e-05×40589641000000     		ar = 853443.110985249m²