Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123392 / 25088
↖ ↑ ↗
← N 73.627789°
E158.906250°		 ← 86.09 m → N 73.627789°
E158.908997°		 →
↑
86.14 m
↓
↑
86.14 m
↓
N 73.627014°
E158.906250°		 ← 86.10 m →
7 416 m²		 N 73.627014°
E158.908997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941410064697266 y=0.191410064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941410064697266 × 217)
    floor (0.941410064697266 × 131072)
    floor (123392.5)     		tx = 123392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191410064697266 × 217)
    floor (0.191410064697266 × 131072)
    floor (25088.5)     		ty = 25088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123392 / 25088 ti = "17/123392/25088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123392/25088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123392 ÷ 217
    123392 ÷ 131072     		x = 0.94140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25088 ÷ 217
    25088 ÷ 131072     		y = 0.19140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94140625 × 2 - 1) × π
    0.8828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77343726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19140625 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93895171583203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77343726} λ = 2.77343726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93895171583203))-π/2
    2×atan(6.9514600443149)-π/2
    2×1.42792183109354-π/2
    2.85584366218708-1.57079632675     		φ = 1.28504734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77343726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28504734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123392 KachelY 25088 2.77343726 1.28504734 158.906250 73.627789
    Oben rechts KachelX + 1 123393 KachelY 25088 2.77348520 1.28504734 158.908997 73.627789
    Unten links KachelX 123392 KachelY + 1 25089 2.77343726 1.28503382 158.906250 73.627014
    Unten rechts KachelX + 1 123393 KachelY + 1 25089 2.77348520 1.28503382 158.908997 73.627014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28504734-1.28503382) × R
    1.35199999999891e-05 × 6371000     		dl = 86.1359199999305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28504734-1.28503382) × R
    1.35199999999891e-05 × 6371000     		dr = 86.1359199999305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77343726-2.77348520) × cos(1.28504734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281876146271479 × 6371000     		do = 86.0922305632582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77343726-2.77348520) × cos(1.28503382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281889118020536 × 6371000     		du = 86.0961924693131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28504734)-sin(1.28503382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281876146271479-0.281889118020536)×R²
    abs(2.77348520-2.77343726)×1.29717490572889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29717490572889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29717490572889e-05×40589641000000     		ar = 7415.8041157923m²