Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12351 / 12351
↖ ↑ ↗
← S 67.058870°
E 91.384277°		 ← 952.35 m → S 67.058870°
E 91.406250°		 →
↑
952.15 m
↓
↑
952.15 m
↓
S 67.067433°
E 91.384277°		 ← 952.02 m →
906 620 m²		 S 67.067433°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753875732421875 y=0.753875732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753875732421875 × 214)
    floor (0.753875732421875 × 16384)
    floor (12351.5)     		tx = 12351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753875732421875 × 214)
    floor (0.753875732421875 × 16384)
    floor (12351.5)     		ty = 12351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12351 / 12351 ti = "14/12351/12351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12351/12351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12351 ÷ 214
    12351 ÷ 16384     		x = 0.75384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12351 ÷ 214
    12351 ÷ 16384     		y = 0.75384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75384521484375 × 2 - 1) × π
    0.5076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.59495652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.5076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59495652415851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59495652} λ = 1.59495652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59495652415851))-π/2
    2×atan(0.202917350313333)-π/2
    2×0.20019912415186-π/2
    0.40039824830372-1.57079632675     		φ = -1.17039808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59495652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17039808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.058870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12351 KachelY 12351 1.59495652 -1.17039808 91.384277 -67.058870
    Oben rechts KachelX + 1 12352 KachelY 12351 1.59534002 -1.17039808 91.406250 -67.058870
    Unten links KachelX 12351 KachelY + 1 12352 1.59495652 -1.17054753 91.384277 -67.067433
    Unten rechts KachelX + 1 12352 KachelY + 1 12352 1.59534002 -1.17054753 91.406250 -67.067433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17039808--1.17054753) × R
    0.000149449999999884 × 6371000     		dl = 952.145949999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17039808--1.17054753) × R
    0.000149449999999884 × 6371000     		dr = 952.145949999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59495652-1.59534002) × cos(-1.17039808) × R
    0.000383500000000092 × 0.389785121006747 × 6371000     		do = 952.353605775912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59495652-1.59534002) × cos(-1.17054753) × R
    0.000383500000000092 × 0.389647487277031 × 6371000     		du = 952.017328243222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17039808)-sin(-1.17054753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389785121006747-0.389647487277031)×R²
    abs(1.59534002-1.59495652)×0.000137633729715814×R²
    0.000383500000000092×0.000137633729715814×6371000²
    0.000383500000000092×0.000137633729715814×40589641000000     		ar = 906619.537749143m²