Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12352 / 12224
↖ ↑ ↗
← S 65.946472°
E 91.406250°		 ← 995.83 m → S 65.946472°
E 91.428222°		 →
↑
995.66 m
↓
↑
995.66 m
↓
S 65.955426°
E 91.406250°		 ← 995.48 m →
991 334 m²		 S 65.955426°
E 91.428222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753936767578125 y=0.746124267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753936767578125 × 214)
    floor (0.753936767578125 × 16384)
    floor (12352.5)     		tx = 12352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746124267578125 × 214)
    floor (0.746124267578125 × 16384)
    floor (12224.5)     		ty = 12224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12352 / 12224 ti = "14/12352/12224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12352/12224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12352 ÷ 214
    12352 ÷ 16384     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12224 ÷ 214
    12224 ÷ 16384     		y = 0.74609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74609375 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54625263414453))-π/2
    2×atan(0.213044836772739)-π/2
    2×0.209906632122725-π/2
    0.419813264245451-1.57079632675     		φ = -1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12352 KachelY 12224 1.59534002 -1.15098306 91.406250 -65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 12353 KachelY 12224 1.59572351 -1.15098306 91.428222 -65.946472
    Unten links KachelX 12352 KachelY + 1 12225 1.59534002 -1.15113934 91.406250 -65.955426
    Unten rechts KachelX + 1 12353 KachelY + 1 12225 1.59572351 -1.15113934 91.428222 -65.955426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15098306--1.15113934) × R
    0.00015628000000012 × 6371000     		dl = 995.659880000762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15098306--1.15113934) × R
    0.00015628000000012 × 6371000     		dr = 995.659880000762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.59572351) × cos(-1.15098306) × R
    0.000383489999999931 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 995.82977437119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.59572351) × cos(-1.15113934) × R
    0.000383489999999931 × 0.407447227513599 × 6371000     		du = 995.481092405542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15098306)-sin(-1.15113934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.407447227513599)×R²
    abs(1.59572351-1.59534002)×0.000142714413433997×R²
    0.000383489999999931×0.000142714413433997×6371000²
    0.000383489999999931×0.000142714413433997×40589641000000     		ar = 991334.171348435m²