Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12352 / 20672
↖ ↑ ↗
← S 42.553080°
W 44.296875°		 ← 899.92 m → S 42.553080°
W 44.285889°		 →
↑
899.84 m
↓
↑
899.84 m
↓
S 42.561173°
W 44.296875°		 ← 899.81 m →
809 733 m²		 S 42.561173°
W 44.285889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376968383789062 y=0.630874633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376968383789062 × 215)
    floor (0.376968383789062 × 32768)
    floor (12352.5)     		tx = 12352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630874633789062 × 215)
    floor (0.630874633789062 × 32768)
    floor (20672.5)     		ty = 20672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12352 / 20672 ti = "15/12352/20672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12352/20672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12352 ÷ 215
    12352 ÷ 32768     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20672 ÷ 215
    20672 ÷ 32768     		y = 0.630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822213702283203))-π/2
    2×atan(0.439457748313722)-π/2
    2×0.414052484452215-π/2
    0.82810496890443-1.57079632675     		φ = -0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12352 KachelY 20672 -0.77312632 -0.74269136 -44.296875 -42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 12353 KachelY 20672 -0.77293457 -0.74269136 -44.285889 -42.553080
    Unten links KachelX 12352 KachelY + 1 20673 -0.77312632 -0.74283260 -44.296875 -42.561173
    Unten rechts KachelX + 1 12353 KachelY + 1 20673 -0.77293457 -0.74283260 -44.285889 -42.561173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74269136--0.74283260) × R
    0.000141239999999931 × 6371000     		dl = 899.840039999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74269136--0.74283260) × R
    0.000141239999999931 × 6371000     		dr = 899.840039999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77293457) × cos(-0.74269136) × R
    0.000191750000000046 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 899.921939938556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77293457) × cos(-0.74283260) × R
    0.000191750000000046 × 0.736555610750693 × 6371000     		du = 899.805243900984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74269136)-sin(-0.74283260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.736555610750693)×R²
    abs(-0.77293457--0.77312632)×9.55241390382389e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55241390382389e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55241390382389e-05×40589641000000     		ar = 809733.29189328m²