Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12353 / 20671
↖ ↑ ↗
← S 42.544987°
W 44.285889°		 ← 900.04 m → S 42.544987°
W 44.274902°		 →
↑
899.97 m
↓
↑
899.97 m
↓
S 42.553080°
W 44.285889°		 ← 899.92 m →
809 953 m²		 S 42.553080°
W 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376998901367188 y=0.630844116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376998901367188 × 215)
    floor (0.376998901367188 × 32768)
    floor (12353.5)     		tx = 12353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630844116210938 × 215)
    floor (0.630844116210938 × 32768)
    floor (20671.5)     		ty = 20671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12353 / 20671 ti = "15/12353/20671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12353/20671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12353 ÷ 215
    12353 ÷ 32768     		x = 0.376983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20671 ÷ 215
    20671 ÷ 32768     		y = 0.630828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.26165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.822021954684723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77293457} λ = -0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822021954684723))-π/2
    2×atan(0.439542021360914)-π/2
    2×0.414123114574469-π/2
    0.828246229148938-1.57079632675     		φ = -0.74255010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74255010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.544987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12353 KachelY 20671 -0.77293457 -0.74255010 -44.285889 -42.544987
    Oben rechts KachelX + 1 12354 KachelY 20671 -0.77274282 -0.74255010 -44.274902 -42.544987
    Unten links KachelX 12353 KachelY + 1 20672 -0.77293457 -0.74269136 -44.285889 -42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 12354 KachelY + 1 20672 -0.77274282 -0.74269136 -44.274902 -42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74255010--0.74269136) × R
    0.000141260000000032 × 6371000     		dl = 899.967460000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74255010--0.74269136) × R
    0.000141260000000032 × 6371000     		dr = 899.967460000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77293457--0.77274282) × cos(-0.74255010) × R
    0.000191749999999935 × 0.736746657856887 × 6371000     		do = 900.038634543989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77293457--0.77274282) × cos(-0.74269136) × R
    0.000191749999999935 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 899.921939938035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74255010)-sin(-0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736746657856887-0.736651134889731)×R²
    abs(-0.77274282--0.77293457)×9.5522967155981e-05×R²
    0.000191749999999935×9.5522967155981e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.5522967155981e-05×40589641000000     		ar = 809952.974505497m²