Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12354 / 12354
↖ ↑ ↗
← S 67.084550°
E 91.450195°		 ← 951.32 m → S 67.084550°
E 91.472168°		 →
↑
951.19 m
↓
↑
951.19 m
↓
S 67.093105°
E 91.450195°		 ← 950.98 m →
904 727 m²		 S 67.093105°
E 91.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754058837890625 y=0.754058837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754058837890625 × 214)
    floor (0.754058837890625 × 16384)
    floor (12354.5)     		tx = 12354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754058837890625 × 214)
    floor (0.754058837890625 × 16384)
    floor (12354.5)     		ty = 12354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12354 / 12354 ti = "14/12354/12354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12354/12354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12354 ÷ 214
    12354 ÷ 16384     		x = 0.7540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12354 ÷ 214
    12354 ÷ 16384     		y = 0.7540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7540283203125 × 2 - 1) × π
    0.508056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.59610701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.508056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59610700974939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59610701} λ = 1.59610701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59610700974939))-π/2
    2×atan(0.202684031066609)-π/2
    2×0.199975021813873-π/2
    0.399950043627747-1.57079632675     		φ = -1.17084628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59610701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17084628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.084550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12354 KachelY 12354 1.59610701 -1.17084628 91.450195 -67.084550
    Oben rechts KachelX + 1 12355 KachelY 12354 1.59649050 -1.17084628 91.472168 -67.084550
    Unten links KachelX 12354 KachelY + 1 12355 1.59610701 -1.17099558 91.450195 -67.093105
    Unten rechts KachelX + 1 12355 KachelY + 1 12355 1.59649050 -1.17099558 91.472168 -67.093105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17084628--1.17099558) × R
    0.00014930000000013 × 6371000     		dl = 951.190300000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17084628--1.17099558) × R
    0.00014930000000013 × 6371000     		dr = 951.190300000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59610701-1.59649050) × cos(-1.17084628) × R
    0.000383489999999931 × 0.389372331874061 × 6371000     		do = 951.320240051324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59610701-1.59649050) × cos(-1.17099558) × R
    0.000383489999999931 × 0.389234810224402 × 6371000     		du = 950.98424512293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17084628)-sin(-1.17099558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389372331874061-0.389234810224402)×R²
    abs(1.59649050-1.59610701)×0.000137521649659578×R²
    0.000383489999999931×0.000137521649659578×6371000²
    0.000383489999999931×0.000137521649659578×40589641000000     		ar = 904726.78865381m²