Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12354 / 28738
↖ ↑ ↗
← S 79.306718°
W 44.274902°		 ← 226.68 m → S 79.306718°
W 44.263916°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
S 79.308756°
W 44.274902°		 ← 226.63 m →
51 364 m²		 S 79.308756°
W 44.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377029418945312 y=0.877029418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377029418945312 × 215)
    floor (0.377029418945312 × 32768)
    floor (12354.5)     		tx = 12354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877029418945312 × 215)
    floor (0.877029418945312 × 32768)
    floor (28738.5)     		ty = 28738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12354 / 28738 ti = "15/12354/28738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12354/28738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12354 ÷ 215
    12354 ÷ 32768     		x = 0.37701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28738 ÷ 215
    28738 ÷ 32768     		y = 0.87701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.7540283203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36884983162469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77274282} λ = -0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36884983162469))-π/2
    2×atan(0.0935883067090691)-π/2
    2×0.0933164942112919-π/2
    0.186632988422584-1.57079632675     		φ = -1.38416334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38416334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.306718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12354 KachelY 28738 -0.77274282 -1.38416334 -44.274902 -79.306718
    Oben rechts KachelX + 1 12355 KachelY 28738 -0.77255107 -1.38416334 -44.263916 -79.306718
    Unten links KachelX 12354 KachelY + 1 28739 -0.77274282 -1.38419891 -44.274902 -79.308756
    Unten rechts KachelX + 1 12355 KachelY + 1 28739 -0.77255107 -1.38419891 -44.263916 -79.308756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38416334--1.38419891) × R
    3.55700000000958e-05 × 6371000     		dl = 226.61647000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38416334--1.38419891) × R
    3.55700000000958e-05 × 6371000     		dr = 226.61647000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77274282--0.77255107) × cos(-1.38416334) × R
    0.000191750000000046 × 0.185551409472086 × 6371000     		do = 226.676884703977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77274282--0.77255107) × cos(-1.38419891) × R
    0.000191750000000046 × 0.185516457043486 × 6371000     		du = 226.634185445315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38416334)-sin(-1.38419891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185551409472086-0.185516457043486)×R²
    abs(-0.77255107--0.77274282)×3.49524286005209e-05×R²
    0.000191750000000046×3.49524286005209e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.49524286005209e-05×40589641000000     		ar = 51363.8772697928m²