Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12356 / 20549
↖ ↑ ↗
← S 41.549700°
W 44.252930°		 ← 914.25 m → S 41.549700°
W 44.241943°		 →
↑
914.17 m
↓
↑
914.17 m
↓
S 41.557921°
W 44.252930°		 ← 914.13 m →
835 732 m²		 S 41.557921°
W 44.241943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377090454101562 y=0.627120971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377090454101562 × 215)
    floor (0.377090454101562 × 32768)
    floor (12356.5)     		tx = 12356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627120971679688 × 215)
    floor (0.627120971679688 × 32768)
    floor (20549.5)     		ty = 20549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12356 / 20549 ti = "15/12356/20549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12356/20549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12356 ÷ 215
    12356 ÷ 32768     		x = 0.3770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20549 ÷ 215
    20549 ÷ 32768     		y = 0.627105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.25421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.798628747670135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77235933} λ = -0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798628747670135))-π/2
    2×atan(0.44994553014333)-π/2
    2×0.422808628031524-π/2
    0.845617256063048-1.57079632675     		φ = -0.72517907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72517907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.549700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12356 KachelY 20549 -0.77235933 -0.72517907 -44.252930 -41.549700
    Oben rechts KachelX + 1 12357 KachelY 20549 -0.77216758 -0.72517907 -44.241943 -41.549700
    Unten links KachelX 12356 KachelY + 1 20550 -0.77235933 -0.72532256 -44.252930 -41.557921
    Unten rechts KachelX + 1 12357 KachelY + 1 20550 -0.77216758 -0.72532256 -44.241943 -41.557921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72517907--0.72532256) × R
    0.000143489999999913 × 6371000     		dl = 914.174789999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72517907--0.72532256) × R
    0.000143489999999913 × 6371000     		dr = 914.174789999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77235933--0.77216758) × cos(-0.72517907) × R
    0.000191750000000046 × 0.748380662302366 × 6371000     		do = 914.251191009786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77235933--0.77216758) × cos(-0.72532256) × R
    0.000191750000000046 × 0.748285482062695 × 6371000     		du = 914.134915093179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72517907)-sin(-0.72532256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748380662302366-0.748285482062695)×R²
    abs(-0.77216758--0.77235933)×9.51802396710333e-05×R²
    0.000191750000000046×9.51802396710333e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.51802396710333e-05×40589641000000     		ar = 835732.243726515m²