Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12356 / 20676
↖ ↑ ↗
← S 42.585445°
W 44.252930°		 ← 899.46 m → S 42.585445°
W 44.241943°		 →
↑
899.33 m
↓
↑
899.33 m
↓
S 42.593532°
W 44.252930°		 ← 899.34 m →
808 855 m²		 S 42.593532°
W 44.241943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377090454101562 y=0.630996704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377090454101562 × 215)
    floor (0.377090454101562 × 32768)
    floor (12356.5)     		tx = 12356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630996704101562 × 215)
    floor (0.630996704101562 × 32768)
    floor (20676.5)     		ty = 20676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12356 / 20676 ti = "15/12356/20676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12356/20676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12356 ÷ 215
    12356 ÷ 32768     		x = 0.3770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20676 ÷ 215
    20676 ÷ 32768     		y = 0.6309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.822980692677124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77235933} λ = -0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822980692677124))-π/2
    2×atan(0.439120817670032)-π/2
    2×0.413770055548169-π/2
    0.827540111096337-1.57079632675     		φ = -0.74325622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74325622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.585445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12356 KachelY 20676 -0.77235933 -0.74325622 -44.252930 -42.585445
    Oben rechts KachelX + 1 12357 KachelY 20676 -0.77216758 -0.74325622 -44.241943 -42.585445
    Unten links KachelX 12356 KachelY + 1 20677 -0.77235933 -0.74339738 -44.252930 -42.593532
    Unten rechts KachelX + 1 12357 KachelY + 1 20677 -0.77216758 -0.74339738 -44.241943 -42.593532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74325622--0.74339738) × R
    0.000141159999999974 × 6371000     		dl = 899.330359999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74325622--0.74339738) × R
    0.000141159999999974 × 6371000     		dr = 899.330359999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77235933--0.77216758) × cos(-0.74325622) × R
    0.000191750000000046 × 0.736269017849973 × 6371000     		do = 899.455130764693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77235933--0.77216758) × cos(-0.74339738) × R
    0.000191750000000046 × 0.736173489102783 × 6371000     		du = 899.338429097623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74325622)-sin(-0.74339738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736269017849973-0.736173489102783)×R²
    abs(-0.77216758--0.77235933)×9.55287471895439e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55287471895439e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55287471895439e-05×40589641000000     		ar = 808854.831221212m²