Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12360 / 20552
↖ ↑ ↗
← S 41.574361°
W 44.208985°		 ← 913.90 m → S 41.574361°
W 44.197998°		 →
↑
913.86 m
↓
↑
913.86 m
↓
S 41.582580°
W 44.208985°		 ← 913.79 m →
835 122 m²		 S 41.582580°
W 44.197998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377212524414062 y=0.627212524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377212524414062 × 215)
    floor (0.377212524414062 × 32768)
    floor (12360.5)     		tx = 12360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627212524414062 × 215)
    floor (0.627212524414062 × 32768)
    floor (20552.5)     		ty = 20552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12360 / 20552 ti = "15/12360/20552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12360/20552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12360 ÷ 215
    12360 ÷ 32768     		x = 0.377197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20552 ÷ 215
    20552 ÷ 32768     		y = 0.627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.25439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.799203990465576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77159234} λ = -0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799203990465576))-π/2
    2×atan(0.449686776648952)-π/2
    2×0.422593418804373-π/2
    0.845186837608745-1.57079632675     		φ = -0.72560949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72560949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.574361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12360 KachelY 20552 -0.77159234 -0.72560949 -44.208985 -41.574361
    Oben rechts KachelX + 1 12361 KachelY 20552 -0.77140059 -0.72560949 -44.197998 -41.574361
    Unten links KachelX 12360 KachelY + 1 20553 -0.77159234 -0.72575293 -44.208985 -41.582580
    Unten rechts KachelX + 1 12361 KachelY + 1 20553 -0.77140059 -0.72575293 -44.197998 -41.582580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72560949--0.72575293) × R
    0.000143439999999995 × 6371000     		dl = 913.856239999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72560949--0.72575293) × R
    0.000143439999999995 × 6371000     		dr = 913.856239999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77159234--0.77140059) × cos(-0.72560949) × R
    0.000191749999999935 × 0.748095108544688 × 6371000     		do = 913.902347330891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77159234--0.77140059) × cos(-0.72575293) × R
    0.000191749999999935 × 0.747999915281003 × 6371000     		du = 913.786055503639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72560949)-sin(-0.72575293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748095108544688-0.747999915281003)×R²
    abs(-0.77140059--0.77159234)×9.51932636843456e-05×R²
    0.000191749999999935×9.51932636843456e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.51932636843456e-05×40589641000000     		ar = 835122.227284315m²