Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12364 / 20540
↖ ↑ ↗
← S 41.475660°
W 44.165039°		 ← 915.30 m → S 41.475660°
W 44.154053°		 →
↑
915.26 m
↓
↑
915.26 m
↓
S 41.483891°
W 44.165039°		 ← 915.18 m →
837 680 m²		 S 41.483891°
W 44.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377334594726562 y=0.626846313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377334594726562 × 215)
    floor (0.377334594726562 × 32768)
    floor (12364.5)     		tx = 12364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626846313476562 × 215)
    floor (0.626846313476562 × 32768)
    floor (20540.5)     		ty = 20540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12364 / 20540 ti = "15/12364/20540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12364/20540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12364 ÷ 215
    12364 ÷ 32768     		x = 0.3773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20540 ÷ 215
    20540 ÷ 32768     		y = 0.6268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.253662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.796903019283813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77082535} λ = -0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796903019283813))-π/2
    2×atan(0.450722684302621)-π/2
    2×0.423454748439368-π/2
    0.846909496878736-1.57079632675     		φ = -0.72388683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72388683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.475660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12364 KachelY 20540 -0.77082535 -0.72388683 -44.165039 -41.475660
    Oben rechts KachelX + 1 12365 KachelY 20540 -0.77063360 -0.72388683 -44.154053 -41.475660
    Unten links KachelX 12364 KachelY + 1 20541 -0.77082535 -0.72403049 -44.165039 -41.483891
    Unten rechts KachelX + 1 12365 KachelY + 1 20541 -0.77063360 -0.72403049 -44.154053 -41.483891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72388683--0.72403049) × R
    0.00014365999999999 × 6371000     		dl = 915.257859999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72388683--0.72403049) × R
    0.00014365999999999 × 6371000     		dr = 915.257859999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77082535--0.77063360) × cos(-0.72388683) × R
    0.000191749999999935 × 0.749237140543895 × 6371000     		do = 915.297498445879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77082535--0.77063360) × cos(-0.72403049) × R
    0.000191749999999935 × 0.74914198653261 × 6371000     		du = 915.181254570898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72388683)-sin(-0.72403049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749237140543895-0.74914198653261)×R²
    abs(-0.77063360--0.77082535)×9.51540112852367e-05×R²
    0.000191749999999935×9.51540112852367e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.51540112852367e-05×40589641000000     		ar = 837680.034571756m²