Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12368 / 20560
↖ ↑ ↗
← S 41.640078°
W 44.121094°		 ← 912.97 m → S 41.640078°
W 44.110108°		 →
↑
912.90 m
↓
↑
912.90 m
↓
S 41.648288°
W 44.121094°		 ← 912.86 m →
833 400 m²		 S 41.648288°
W 44.110108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377456665039062 y=0.627456665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377456665039062 × 215)
    floor (0.377456665039062 × 32768)
    floor (12368.5)     		tx = 12368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627456665039062 × 215)
    floor (0.627456665039062 × 32768)
    floor (20560.5)     		ty = 20560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12368 / 20560 ti = "15/12368/20560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12368/20560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12368 ÷ 215
    12368 ÷ 32768     		x = 0.37744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20560 ÷ 215
    20560 ÷ 32768     		y = 0.62744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77005836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.800737971253418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77005836} λ = -0.77005836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800737971253418))-π/2
    2×atan(0.448997494580913)-π/2
    2×0.422019929105416-π/2
    0.844039858210832-1.57079632675     		φ = -0.72675647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77005836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72675647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.640078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12368 KachelY 20560 -0.77005836 -0.72675647 -44.121094 -41.640078
    Oben rechts KachelX + 1 12369 KachelY 20560 -0.76986661 -0.72675647 -44.110108 -41.640078
    Unten links KachelX 12368 KachelY + 1 20561 -0.77005836 -0.72689976 -44.121094 -41.648288
    Unten rechts KachelX + 1 12369 KachelY + 1 20561 -0.76986661 -0.72689976 -44.110108 -41.648288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72675647--0.72689976) × R
    0.000143290000000018 × 6371000     		dl = 912.900590000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72675647--0.72689976) × R
    0.000143290000000018 × 6371000     		dr = 912.900590000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77005836--0.76986661) × cos(-0.72675647) × R
    0.000191750000000046 × 0.747333490424122 × 6371000     		do = 912.971924741826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77005836--0.76986661) × cos(-0.72689976) × R
    0.000191750000000046 × 0.747238273835642 × 6371000     		du = 912.855604420087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72675647)-sin(-0.72689976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747333490424122-0.747238273835642)×R²
    abs(-0.76986661--0.77005836)×9.52165884803291e-05×R²
    0.000191750000000046×9.52165884803291e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.52165884803291e-05×40589641000000     		ar = 833399.515731355m²