Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12372 / 20564
↖ ↑ ↗
← S 41.672912°
W 44.077149°		 ← 912.51 m → S 41.672912°
W 44.066162°		 →
↑
912.45 m
↓
↑
912.45 m
↓
S 41.681118°
W 44.077149°		 ← 912.39 m →
832 568 m²		 S 41.681118°
W 44.066162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377578735351562 y=0.627578735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377578735351562 × 215)
    floor (0.377578735351562 × 32768)
    floor (12372.5)     		tx = 12372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627578735351562 × 215)
    floor (0.627578735351562 × 32768)
    floor (20564.5)     		ty = 20564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12372 / 20564 ti = "15/12372/20564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12372/20564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12372 ÷ 215
    12372 ÷ 32768     		x = 0.3775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20564 ÷ 215
    20564 ÷ 32768     		y = 0.6275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76929137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801504961647339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76929137} λ = -0.76929137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801504961647339))-π/2
    2×atan(0.448653249848752)-π/2
    2×0.421733403333345-π/2
    0.843466806666691-1.57079632675     		φ = -0.72732952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76929137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.077149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72732952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.672912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12372 KachelY 20564 -0.76929137 -0.72732952 -44.077149 -41.672912
    Oben rechts KachelX + 1 12373 KachelY 20564 -0.76909962 -0.72732952 -44.066162 -41.672912
    Unten links KachelX 12372 KachelY + 1 20565 -0.76929137 -0.72747274 -44.077149 -41.681118
    Unten rechts KachelX + 1 12373 KachelY + 1 20565 -0.76909962 -0.72747274 -44.066162 -41.681118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72732952--0.72747274) × R
    0.000143219999999999 × 6371000     		dl = 912.454619999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72732952--0.72747274) × R
    0.000143219999999999 × 6371000     		dr = 912.454619999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76929137--0.76909962) × cos(-0.72732952) × R
    0.000191750000000046 × 0.746952605160643 × 6371000     		do = 912.506620354213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76929137--0.76909962) × cos(-0.72747274) × R
    0.000191750000000046 × 0.746857373775311 × 6371000     		du = 912.39028195606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72732952)-sin(-0.72747274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746952605160643-0.746857373775311)×R²
    abs(-0.76909962--0.76929137)×9.52313853316289e-05×R²
    0.000191750000000046×9.52313853316289e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.52313853316289e-05×40589641000000     		ar = 832567.80619199m²