Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12384 / 12384
↖ ↑ ↗
← S 67.339861°
E 92.109375°		 ← 941.28 m → S 67.339861°
E 92.131348°		 →
↑
941.12 m
↓
↑
941.12 m
↓
S 67.348325°
E 92.109375°		 ← 940.95 m →
885 707 m²		 S 67.348325°
E 92.131348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755889892578125 y=0.755889892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755889892578125 × 214)
    floor (0.755889892578125 × 16384)
    floor (12384.5)     		tx = 12384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755889892578125 × 214)
    floor (0.755889892578125 × 16384)
    floor (12384.5)     		ty = 12384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12384 / 12384 ti = "14/12384/12384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12384/12384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12384 ÷ 214
    12384 ÷ 16384     		x = 0.755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12384 ÷ 214
    12384 ÷ 16384     		y = 0.755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755859375 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60761187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755859375 × 2 - 1) × π
    -0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60761187} λ = 1.60761187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6076118656582))-π/2
    2×atan(0.200365543002917)-π/2
    2×0.197747018785645-π/2
    0.39549403757129-1.57079632675     		φ = -1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60761187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12384 KachelY 12384 1.60761187 -1.17530229 92.109375 -67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 12385 KachelY 12384 1.60799536 -1.17530229 92.131348 -67.339861
    Unten links KachelX 12384 KachelY + 1 12385 1.60761187 -1.17545001 92.109375 -67.348325
    Unten rechts KachelX + 1 12385 KachelY + 1 12385 1.60799536 -1.17545001 92.131348 -67.348325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17530229--1.17545001) × R
    0.000147719999999962 × 6371000     		dl = 941.12411999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17530229--1.17545001) × R
    0.000147719999999962 × 6371000     		dr = 941.12411999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60761187-1.60799536) × cos(-1.17530229) × R
    0.000383490000000153 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 941.283035360672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60761187-1.60799536) × cos(-1.17545001) × R
    0.000383490000000153 × 0.385127814937679 × 6371000     		du = 940.949973496496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17530229)-sin(-1.17545001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.385127814937679)×R²
    abs(1.60799536-1.60761187)×0.000136321155855434×R²
    0.000383490000000153×0.000136321155855434×6371000²
    0.000383490000000153×0.000136321155855434×40589641000000     		ar = 885707.443657043m²