Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12384 / 28768
↖ ↑ ↗
← S 79.367701°
W 43.945312°		 ← 225.39 m → S 79.367701°
W 43.934326°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 79.369727°
W 43.945312°		 ← 225.34 m →
50 785 m²		 S 79.369727°
W 43.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377944946289062 y=0.877944946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377944946289062 × 215)
    floor (0.377944946289062 × 32768)
    floor (12384.5)     		tx = 12384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877944946289062 × 215)
    floor (0.877944946289062 × 32768)
    floor (28768.5)     		ty = 28768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12384 / 28768 ti = "15/12384/28768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12384/28768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12384 ÷ 215
    12384 ÷ 32768     		x = 0.3779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28768 ÷ 215
    28768 ÷ 32768     		y = 0.8779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8779296875 × 2 - 1) × π
    -0.755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3746022595791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76699039} λ = -0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3746022595791))-π/2
    2×atan(0.0930514921910545)-π/2
    2×0.0927843142499606-π/2
    0.185568628499921-1.57079632675     		φ = -1.38522770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38522770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.367701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12384 KachelY 28768 -0.76699039 -1.38522770 -43.945312 -79.367701
    Oben rechts KachelX + 1 12385 KachelY 28768 -0.76679865 -1.38522770 -43.934326 -79.367701
    Unten links KachelX 12384 KachelY + 1 28769 -0.76699039 -1.38526307 -43.945312 -79.369727
    Unten rechts KachelX + 1 12385 KachelY + 1 28769 -0.76679865 -1.38526307 -43.934326 -79.369727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38522770--1.38526307) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dl = 225.342269999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38522770--1.38526307) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dr = 225.342269999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76699039--0.76679865) × cos(-1.38522770) × R
    0.000191739999999996 × 0.184505427649398 × 6371000     		do = 225.387317413739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76699039--0.76679865) × cos(-1.38526307) × R
    0.000191739999999996 × 0.184470664784022 × 6371000     		du = 225.344851947696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38522770)-sin(-1.38526307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184505427649398-0.184470664784022)×R²
    abs(-0.76679865--0.76699039)×3.47628653752929e-05×R²
    0.000191739999999996×3.47628653752929e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.47628653752929e-05×40589641000000     		ar = 50784.5051082384m²