Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12388 / 20580
↖ ↑ ↗
← S 41.804078°
W 43.901367°		 ← 910.60 m → S 41.804078°
W 43.890381°		 →
↑
910.61 m
↓
↑
910.61 m
↓
S 41.812267°
W 43.901367°		 ← 910.48 m →
829 143 m²		 S 41.812267°
W 43.890381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378067016601562 y=0.628067016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378067016601562 × 215)
    floor (0.378067016601562 × 32768)
    floor (12388.5)     		tx = 12388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628067016601562 × 215)
    floor (0.628067016601562 × 32768)
    floor (20580.5)     		ty = 20580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12388 / 20580 ti = "15/12388/20580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12388/20580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12388 ÷ 215
    12388 ÷ 32768     		x = 0.3780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20580 ÷ 215
    20580 ÷ 32768     		y = 0.6280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.804572923223022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76622340} λ = -0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804572923223022))-π/2
    2×atan(0.447278908209068)-π/2
    2×0.420588761216743-π/2
    0.841177522433485-1.57079632675     		φ = -0.72961880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72961880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.804078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12388 KachelY 20580 -0.76622340 -0.72961880 -43.901367 -41.804078
    Oben rechts KachelX + 1 12389 KachelY 20580 -0.76603166 -0.72961880 -43.890381 -41.804078
    Unten links KachelX 12388 KachelY + 1 20581 -0.76622340 -0.72976173 -43.901367 -41.812267
    Unten rechts KachelX + 1 12389 KachelY + 1 20581 -0.76603166 -0.72976173 -43.890381 -41.812267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72961880--0.72976173) × R
    0.000142929999999986 × 6371000     		dl = 910.607029999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72961880--0.72976173) × R
    0.000142929999999986 × 6371000     		dr = 910.607029999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76622340--0.76603166) × cos(-0.72961880) × R
    0.000191739999999996 × 0.74542855890165 × 6371000     		do = 910.597294371685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76622340--0.76603166) × cos(-0.72976173) × R
    0.000191739999999996 × 0.745333276218558 × 6371000     		du = 910.480899376634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72961880)-sin(-0.72976173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74542855890165-0.745333276218558)×R²
    abs(-0.76603166--0.76622340)×9.52826830920017e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52826830920017e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52826830920017e-05×40589641000000     		ar = 829143.304114755m²