Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 124 / 380
↖ ↑ ↗
← N 42.032975°
W136.406250°		 ← 29.036 km → N 42.032975°
W136.054688°		 →
↑
29.096 km
↓
↑
29.096 km
↓
N 41.771312°
W136.406250°		 ← 29.155 km →
846.553 km²		 N 41.771312°
W136.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12158203125 y=0.37158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12158203125 × 210)
    floor (0.12158203125 × 1024)
    floor (124.5)     		tx = 124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37158203125 × 210)
    floor (0.37158203125 × 1024)
    floor (380.5)     		ty = 380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 124 / 380 ti = "10/124/380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/124/380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124 ÷ 210
    124 ÷ 1024     		x = 0.12109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 380 ÷ 210
    380 ÷ 1024     		y = 0.37109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12109375 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37109375 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38073818} λ = -2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.809941855980469))-π/2
    2×atan(2.2477772880703)-π/2
    2×1.15220506164254-π/2
    2.30441012328507-1.57079632675     		φ = 0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124 KachelY 380 -2.38073818 0.73361380 -136.406250 42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 125 KachelY 380 -2.37460226 0.73361380 -136.054688 42.032975
    Unten links KachelX 124 KachelY + 1 381 -2.38073818 0.72904692 -136.406250 41.771312
    Unten rechts KachelX + 1 125 KachelY + 1 381 -2.37460226 0.72904692 -136.054688 41.771312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73361380-0.72904692) × R
    0.00456687999999994 × 6371000     		dl = 29095.5924799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73361380-0.72904692) × R
    0.00456687999999994 × 6371000     		dr = 29095.5924799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38073818--2.37460226) × cos(0.73361380) × R
    0.00613591999999974 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 29035.9187358294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38073818--2.37460226) × cos(0.72904692) × R
    0.00613591999999974 × 0.745809643916539 × 6371000     		du = 29155.1505649224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73361380)-sin(0.72904692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.745809643916539)×R²
    abs(-2.37460226--2.38073818)×0.00305003562925832×R²
    0.00613591999999974×0.00305003562925832×6371000²
    0.00613591999999974×0.00305003562925832×40589641000000     		ar = 846553290.512886m²