Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 124 / 396
↖ ↑ ↗
← N 37.718590°
W136.406250°		 ← 30.923 km → N 37.718590°
W136.054688°		 →
↑
30.981 km
↓
↑
30.981 km
↓
N 37.439974°
W136.406250°		 ← 31.039 km →
959.805 km²		 N 37.439974°
W136.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12158203125 y=0.38720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12158203125 × 210)
    floor (0.12158203125 × 1024)
    floor (124.5)     		tx = 124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38720703125 × 210)
    floor (0.38720703125 × 1024)
    floor (396.5)     		ty = 396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 124 / 396 ti = "10/124/396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/124/396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124 ÷ 210
    124 ÷ 1024     		x = 0.12109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 396 ÷ 210
    396 ÷ 1024     		y = 0.38671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12109375 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38671875 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38073818} λ = -2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.711767085558594))-π/2
    2×atan(2.03758867275937)-π/2
    2×1.1145549585856-π/2
    2.2291099171712-1.57079632675     		φ = 0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124 KachelY 396 -2.38073818 0.65831359 -136.406250 37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 125 KachelY 396 -2.37460226 0.65831359 -136.054688 37.718590
    Unten links KachelX 124 KachelY + 1 397 -2.38073818 0.65345082 -136.406250 37.439974
    Unten rechts KachelX + 1 125 KachelY + 1 397 -2.37460226 0.65345082 -136.054688 37.439974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65831359-0.65345082) × R
    0.00486277000000002 × 6371000     		dl = 30980.7076700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65831359-0.65345082) × R
    0.00486277000000002 × 6371000     		dr = 30980.7076700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38073818--2.37460226) × cos(0.65831359) × R
    0.00613591999999974 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 30922.7097320403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38073818--2.37460226) × cos(0.65345082) × R
    0.00613591999999974 × 0.793990673399832 × 6371000     		du = 31038.6407831256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65831359)-sin(0.65345082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.793990673399832)×R²
    abs(-2.37460226--2.38073818)×0.00296559936249563×R²
    0.00613591999999974×0.00296559936249563×6371000²
    0.00613591999999974×0.00296559936249563×40589641000000     		ar = 959805134.913704m²